高职高等数学-傅里叶级数部分.doc

§7-3 傅里叶级数
一、傅里叶级数的定义
定义：形如的级数为三角级数，其中都是常数。

三角函数族的正交性：
把称为三角函数族。

若是非负整数，则容易验证：

以上性质称为三角函数族的正交性。

确定傅里叶级数及其系数：
假设是以为周期的周期函数，且可展开为三角级数：

将上式两边同乘，然后在区间上逐项积分，得：

由前面正交性可得，等式右端除项外，其余各项都等于零，于是有：

因此

同理，两边乘，再逐项积分，得：

定义：上述表达式中的称为的傅里叶系数，与之对应的三角级数
称为的傅里叶级数。
二、傅里叶级数的敛散性
定理：若是以为周期的周期函数，且在区间上是分段光滑的，则傅里叶级数在区间上收敛，且
（1）当是的连续点时，级数收敛于
（2）当是的间断点时，级数收敛于
例1：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：计算系数

因为函数在上连续，所以在上傅里叶级数收敛于，即

当时，傅里叶级数收敛于

特殊形式的傅里叶级数：
1.当是周期为的偶函数时，是奇函数，是偶函数，则有：

此时傅里叶级数称为余弦级数。

2. 当是周期为的奇函数时，是偶函数，是奇函数，则有：

此时傅里叶级数称为正弦级数。

例2：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：所给函数为奇函数，则

所给函数在上连续，则在上傅里叶级数收敛于，即

当时，傅里叶级数收敛于：
例3：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：所给函数为偶函数，则

所给函数在上连续，则在上傅里叶级数收敛于，
即