1、
§7-3 傅里叶级数
一、傅里叶级数的定义
定义：形如的级数为三角级数，其中都是常数。
三角函数族的正交性：
把称为三角函数族。
若是非负整数，则容易验证：
以上性质称为三角函数族的正交性。
确定傅里叶级数及其系数：
假设是以为周期的周期函数，且可展开为三角级数：
将上式两边同乘，然后在区间上逐项积分，得：
由前面正交性可得，等式右端除项外，其余各项都等于零，于是有：
因此
同理，两边乘，再逐项积分，得：
定义：上述表达式中的称为的傅里叶系数，与之对应的三角级数
称为的傅里叶级数。
二、傅里叶级数的敛散性
定
2、理：若是以为周期的周期函数，且在区间上是分段光滑的，则傅里叶级数在区间上收敛，且
（1）当是的连续点时，级数收敛于
（2）当是的间断点时，级数收敛于
例1：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：计算系数
因为函数在上连续，所以在上傅里叶级数收敛于，即
当时，傅里叶级数收敛于
特殊形式的傅里叶级数：
1.当是周期为的偶函数时，是奇函数，是偶函数，则有：
此时傅里叶级数称为余弦级数。
2. 当是周期为的奇函数时，是偶函数，是奇函数，则有：
此时傅里叶级数称为正弦级数。
例2：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：所给函数为奇函数，则
所给函数在上连续，则在上傅里叶级数收敛于，即
当时，傅里叶级数收敛于：
例3：设是周期为的函数，它在上表达式为，将其展开为傅里叶级数
解：所给函数为偶函数，则
所给函数在上连续，则在上傅里叶级数收敛于，
即
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