专题一 函数概论.doc

专题一 函数概论
考试大纲要求：
2．集合、简易逻辑
考试内容：
集合．子集．补集．交集．并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
3．函数
考试内容：
映射．函数．函数的单调性．奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
一 集合与映射
（一）集合的概念：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
（二）集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
（三）集合的运算：
1.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集。记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
4.补集：A是U的子集，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合叫做U中子集A的补集（或余集）。
特别强调：做题时千万别忘空集！！！
（四）映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”。
（五）经典例题：
1.已知集合，若，求实数的值。
2．设,其中,如果，求实数的取值范围。
二 函数的概念、分类
（一）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
（二）函数三要素：定义域、对应关系和值域
（三）函数定义域的要求：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（四）函数的分类（高中阶段所接触到的函数）：
（1）幂函数——
（2）指数函数——
（3）对数函数——
（4）导数
（5）反函数
（6）三角函数——
(7)复合函数
（五）经典例题：
1. 解析式
（1）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
(2) 若函数，则=

2．求下列函数的定义域
（1） （2）
3．求下列函数的值域
（1） （2） （3）
三 函数的性质
（一）函数的奇偶性定义：
1.偶函数：
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（二）函数单调性定义：
1.增函数：
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间.
2.减函数
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
（三）函数周期性定义：
对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
（四）经典例题
1．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立。证明：
（1）函数是奇函数；
（2）函数是上的减函数。
2．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
四 高考真题再现（见P4——P9）
五 课后反思
函数是整个高中数学的基础，对于这部分的考试，高考的考试大纲要求很高。必须做到概念清晰记忆、灵活运用。

2012年高考文科数学函数部分
一、选择题
1 ．（2012年高考（重庆文））设函数集合 则为 （　　）
A． B．(0,1) C．(-1,1) D．
2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（　　）
A． B． C． D．
5 ．（2012年高考（山东文））函数的图象大致为

6 ．（2012年高考（山东文））函数的定义域为 （　　）
A． B． C． D．
10．（2012年高考（湖南文））设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当时,;当且时 ,,则函数在上的零点个数为 （　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
14．（2012年高考（福建文））设,,则的值为 （　　）
A．1 B．0 C． D．
15．（2012年高考（大纲文））函数的反函数为 （　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
19．（2012年高考（重庆文））函数 为偶函数,则实数________
21．（2012年高考（天津文））已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是________.
23．（2012年高考（上海文））已知是奇函数. 若且,则_______ .
24．（2012年高考（上海文））方程的解是_________.
26．（2012年高考（山东文））若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=____.
27．（2012年高考（课标文））设函数=的最大值为M,最小值为m,则M+m=____
29．（2012年高考（福建文））已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________.
30．（2012年高考（北京文））已知,.若或,则的取值范围是________.
31．（2012年高考（北京文））已知函数,若,则_________.
32．（2012年高考（安徽文））若函数的单调递增区间是,则
三、解答题
33．（2012年高考（上海文））已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.

参考答案
一、选择题
1. 【答案】:D
【解析】:由得则或即或
所以或;由得即所以故
【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.
2. 【解析】函数为偶函数,且当时,函数为增函数,所以在上也为增函数,选B.
5. 解析:函数,为奇函数,
当,且时;当,且时;
当,,;当,,.
答案应选D.
6. 解析:要使函数有意义只需,即,解得,且.答案应选B.
.
10. 【答案】B
【解析】由当x∈(0,π) 且x≠时 ,,知

又时,0<f(x)<1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出和草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
14. 【答案】B
【解析】因为 所以. B 正确
【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.
15.答案A
【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解,再互换得到结论,同时也考查了函数值域的求法.
【解析】由,而,故
互换得到,故选答案A
二、填空题
19. 【答案】4
【解析】由函数为偶函数得即
.
【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切都有成立.
21. 【解析】函数,当时,,当时,,综上函数,做出函数的图象,要使函数与有两个不同的交点,则直线必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时,满足,当经过蓝色区域时,满足,综上实数的取值范围是或.
23. [解析] 是奇函数,则,,
所以.
24. [解析] ,,,.
26.答案: 解析:当时,有,此时,此时为减函数,不合题意.若,则,故,检验知符合题意.
另解:由函数在上是增函数可知;
当时在[-1,2]上的最大值为4,解得,最小值为不符合题意,舍去;当时,在[-1,2]上的最大值为,解得,此时最小值为,符合题意,
故a=.
27. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.
【解析】=,
设==,则是奇函数,
∵最大值为M,最小值为,∴的最大值为M-1,最小值为-1,
∴,=2.
29. 【答案】
【解析】因为 不等式恒成立,所以,即 ,所以
【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.
30. 【答案】
【解析】首先看没有参数,从入手,显然时,,时,,而对或成立即可,故只要时,(*)恒成立即可.当时,,不符合(*),所以舍去;当时,由得,并不对成立,舍去;当时,由,注意,故,所以,即,又,故,所以,又,故,综上,的取值范围是.
【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论.
31. 【答案】
【解析】,

【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.
32. 【解析】 由对称性:
三、解答题
33. [解](1)由,得.
由得
因为,所以,.
由得
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此

由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,
10
专题一 函数概论