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专题一------第2讲函数

专题一
第2讲　函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】　1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．

1． 函数的概念及其表示
两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2． 函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.
3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况．
4． 熟记对数式的五个运算公式
loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，
logaM＋logaN≠loga(M＋N)．
5． 与周期函数有关的结论
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝|a－b|.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.
提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x＝对称.

考点一　函数及其表示
例1　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
答案　(0,1)
解析　由函数y＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．
(2)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(fM(0))的值为________．
答案　1
解析　由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝±1，
因此当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；
当－1<x<1时，fM(x)＝1，
所以fM(0)＝1，fM(fM(0))＝fM(1)＝2－12＝1.
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．
②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
(2)求函数值时应注意
形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
(1)若函数f(x)＝则f(log23)＝________.
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
答案　(1)24　(2)(－1，－1)
解析　(1)f(log23)＝f(log23＋3)
＝f(log224)＝2log224＝24.
(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋1是增函数；
当x<0时f(x)＝1，
因此由题设f(1－x2)>f(2x)得，
或
解之得－1<x<0或0≤x<－1.
故所求实数x的取值范围是(－1，－1)．
考点二　函数的性质
例2　(1)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
答案　
解析　f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)为增函数．
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，
f(mx－2)<f(－x)．
∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，
即，∴－2<x<.
(2)设奇函数y＝f(x) (x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．
答案　－
解析　根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
(1)(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是________．
答案　(1)　(2)－1
解析　(1)由题意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)．
∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又因f(x)在[0，＋∞)上递增．
∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，
∴a∈.
(2)依题意得f(0)＝0.当x>0时，f(x)>e0＋a＝a＋1.
若函数f(x)在R上是单调函数，则有a＋1≥0，a≥－1，
因此实数a的最小值是－1.
考点三　函数的图象
例3　形如y＝(a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|图象的交点个数为n，则n＝________.
答案　4
解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝
＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
答案　[－2,0]
解析　函数y＝|f(x)|的图象如图．
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立．
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.
考点四　基本初等函数的图象及性质
例4　(1)若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
(2)已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c大小关系为________．
答案　(1)(－1,0)∪(1，＋∞)　(2)a>c>b
解析　(1)方法一　由题意作出y＝f(x)的图象如图．

显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．
方法二　对a分类讨论：
当a>0时，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1.
当a<0时，log(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
∴－1<a<0，故－1<a<0或a>1.
(2)∵a＝，b＝，c＝＝5log33，
根据y＝ax且a＝5，知y是增函数．
又∵log23.4>log33>1,0<log43.6<1，
∴5log23.4>()log30.3>5log43.6，即a>c>b.
(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．
(1)(2012·天津)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为________．
(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
答案　(1)c<b<a　(2)(－1,0)
解析　(1)利用中间值判断大小．
b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，
c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，
故c<b<a.
(2)作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)及y＝log2x的图象关于
y轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x<0，即x∈(－1,0)．
也可把原不等式化为后作图．

1． 判断函数单调性的常用方法
(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．
(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．
(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．
(4)对于抽象函数一般用定义法．
2． 函数奇偶性的应用
函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．
利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
3． 函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．提醒：函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象对称轴为x＝0，并非直线x＝a.
(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．
4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．
5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．
比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．
6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．

1． 关于x的方程exln x＝1的实根个数是________．
答案　1
解析　由原方程可得ln x＝e－x.
设y1＝ln x，y2＝e－x，
两函数的图象如图所示：
两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解．
2． 定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________________．
答案　(－∞，－2)∪
解析　由已知条件可知，
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－log2(－x)．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)<－1，
即为log2x<－1，解得0<x<；
当x∈(－∞，0)时，f(x)<－1，
即为－log2(－x)<－1，解得x<－2.
所以f(x)<－1的解集为(－∞，－2)∪.
3． 定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，∴令x＝－3得f(1)＝0，
∴f(x＋2)＝f(x)，周期T＝2.
x∈[0,1]时，f(x)＝f(x＋2)＝－2(x－1)2.
根据函数f(x)的奇偶性与周期性画出图象．
要使y＝f(x)与y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只须满足
解得0<a<.

(推荐时间：40分钟)
1． 已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x，则f的值等于________．
答案　－lg 2
解析　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)．
又函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝－lg(－x)．
所以f＝lg ＝－2，
f＝f(－2)＝－lg 2.
2． 已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的________条件．
答案　充分不必要
解析　当c＝－1时，易知f(x)在R上递增；
反之，若f(x)在R上递增，则需有1＋c≤0，即c≤－1.
所以“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件．
3． (2013·课标全国Ⅱ改编)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为_______．
答案　a>b>c
解析　设a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.
4． 设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝________.
答案　{x|x<0或x>4}
解析　由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x－2)>0，即f(|x－2|)>0，
f(|x－2|)＝2|x－2|－4>0，|x－2|>2，
即x－2<－2或x－2>2，由此解得x<0或x>4.
于是有{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}．
5． 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
答案　－1
解析　因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.
6． 设函数f(x)＝x|x－a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　a≤2
解析　f(x)＝
如图，作出函数图象，当a变化时，
易得a的取值范围为a≤2.
7． 已知f(x)＝asin x＋b＋4(a，b∈R)，且f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝________.
答案　3
解析　lg(log210)＝－lg(lg 2)，
f(－x)＝asin(－x)＋b＋4
＝－(asin x＋b)＋4.
又f[lg(log210)]＝5，∴f[lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.
8． 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
答案　－10
解析　因为f(x)的周期为2，
所以f＝f＝f，
即f＝f.
又因为f＝－a＋1，f＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)． ①
又因为f(－1)＝f(1)，
所以－a＋1＝，即b＝－2a. ②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
9． 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
答案　1<a<
解析　y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示．
由图象可知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点需
满足a－<1<a，
∴1<a<.
10．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有________．(填序号)
答案　③④
解析　函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由a＝b得，
a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
11．已知奇函数f(x)＝给出下列结论：
①f(f(1))＝1；
②函数y＝f(x)有三个零点；
③f(x)的递增区间是[1，＋∞)；
④直线x＝1是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
⑤函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．
其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．
答案　①②
解析　因为f(x)是奇函数，
所以x<0时，f(－x)＝x2＋2x，
即f(x)＝－x2－2x.
可求得a＝－1，b＝－2.
即f(x)＝
①f(f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝1，①正确；②易知f(x)的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x∈(－∞，－1]时，f(x)也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，④错误；⑤奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.
12．给出下列四个函数：
①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝.
当0<x1<x2<1时，使f>恒成立的函数的序号是________．
答案　②④
解析　由题意知满足条件的图象形状为：

故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝.
13．已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
则所有正确命题的序号为________．
答案　①②④
解析　令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，
又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；
根据①可得f(x＋4)＝f(x)，可得函数f(x)的周期是4，
由于偶函数的图象关于y轴对称，
故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；
由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，
故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8.
故正确命题的序号为①②④.
14．已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
答案　(，＋∞)
解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示．直线
y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的
图象只有一个公共点；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－x (x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝x2＋1 (x>0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x>0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，解得m>.故所求实数m的取值范围是(，＋∞)．