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专题一-函数与导数专题一函数与导数第一讲 函数的图象与性质一、选择题1(2015重庆高考)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是()A3,1 B(3,1)C(，31，) D(，3)(1，)2(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin x3若loga20，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是()4已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1 C1 D35(2015唐山模拟)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当xffBfffCfffDfff7(2015杭州模拟)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)8已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)ex1，则f(2 015)f(2 016)()A1e Be1 C1e De19(2015唐山模拟)已知f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C. D.10(2015温州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln|x|Bf(x)x2ln|x|Cf(x)|x|2ln|x|Df(x)|x|ln|x|11(2015武昌模拟) 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是()12已知yf(x)是定义在R上的偶函数，对任意x恒有f(x6)f(x)f(3)，当x1，x20,3且x1x2时，0，给出下列命题：f(3)0；直线x6是yf(x)的一条对称轴；yf(x)在(9，6)上为增函数；yf(x)在9,9上有四个零点其中所有正确命题的序号为()A B C D二、填空题13设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_14已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.15(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时16已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_答案1解析：选D要使函数有意义，只需x22x30，即(x3)(x1)0，解得x1.故函数的定义域为(，3)(1，)2解析：选DA项，定义域为R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故为非奇非偶函数3解析：选B由loga20，得0a1，故函数f(x)loga(x1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)loga(x1)的图象可由ylogax的图象向左平移1个单位得到4解析：选B用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，又由题意知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)(x3x21)，令x1，得f(1)g(1)1.5解析：选C当x0，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)6解析：选C由f(x11)f(x1)f(x)，知f(x)的周期为2，所以f(x)在1,0上为减函数，故偶函数f(x)在0,1上为增函数，而ff，fff，所以fff，即fff.7解析：选Bf(a)的值域为(1，)，由b24b31，解得2b0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln|x|符合条件11解析：选C当转动角度不超过45时，阴影面积增加得越来越快，图象下凸；当转动角度超过45时，阴影面积增加得越来越慢，图象上凸，故选C.12解析：选D令x3，得f(3)f(3)f(3)，即f(3)f(3)0，故正确由f(x6)f(x)，知函数yf(x)是周期为6的偶函数又当x1，x20,3且x1x2时，0，故函数yf(x)在0,3上为增函数作出函数yf(x)在区间9,9上的大致图象，如图所示由图形，可知函数yf(x)关于直线x6对称，且f(3)f(3)f(9)f(9)0，yf(x)在(9，6)上单调递减，即是正确的13解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：114解析：当a1时，函数f(x)单调递增，则无解；当0a1时，函数f(x)单调递减，则解得故ab.答案：15解析：由已知条件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192324.答案：2416解析：根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1kcb Babc Ccab Dbca3已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是() A(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)4(2015辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为st2米，那么，此人()A可在7秒内追上汽车B可在9秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为14米D不能追上汽车，但期间最近距离为7米5已知ab1,0xx Bxaxb Clogx alogx b Dloga xlogb x6设1x2，则，2，的大小关系是()A.2 B.2C.2 D.27某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元8(2015成都三诊)已知函数f(x)ln x2x3，其中x表示不大于x的最大整数(如1.61，2.13)，则函数f(x)的零点个数是()A1 B2 C3 D49(2015长沙模拟)奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f(g(x)0，g(f(x)0的实根个数分别为a 、b，则ab等于() 图1图2A14 B10 C7 D310(2015济南模拟)已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)011(2015唐山模拟)函数f(x)ex，g(x)|ln x|，若x1，x2都满足f(x)g(x)，则()Ax1x2e B1x1x2e C0x1x2 D.x1x2112(2015绵阳模拟)已知函数f(x)给出如下三个命题： f(x)在，)上是减函数； f(x)在R上恒成立； 函数yf(x)图象与直线y 有两个交点其中真命题的个数为()A3个 B2个 C1个 D0个二、填空题13(2015 徐州、连云港、宿迁联考)设函数f(x)则f(f(1)的值为_14(2015威海模拟)函数f(x)x1的零点个数为_15若正数a，b满足2log2a3log3blog6(ab)，则的值为_16(2015苏锡常镇模拟)已知函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点，则实数a的取值范围为_答案1解析：选A使函数有意义需满足解得x1.2解析：选A比较b与c，考察函数yx，0，即b0，幂函数yx在第一象限是增函数，即ac，acb.3解析：选C因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log24b1,0x1，01，xb1,0x1，xab1,0x1，logx ab1,0xlogb x，故D成立6解析：选A1x2，01，2，2.7解析：选B设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15x辆车获得的利润为y5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30，当x10.2时，y最大，但xN，所以当x10时，ymax1530.63045.6(万元)8解析：选B设g(x)ln x，h(x)2x3，当0x1时，h(x)3，作出图象，两函数有一个交点即一个零点；当2x3时，h(x)1，ln 2g(x)1时，y是增函数；y2x也是增函数所以f(x)是增函数，因为f(x0)0且x1x0，所以f(x1)0.11解析：选D若x1，x2是函数f(x)ex|ln x|的两个零点，则x1，x2是函数yex和y|ln x|的图象交点的横坐标，画函数yex和y|ln x|的图象如图所示，由图可得即1ln(x1x2)1，即x1x2ln x2，所以ln(x1x2)0，得x1x21，综上x1x21.12解析：选B当x0时，函数f(x)exx1显然是增函数；当x0时，函数f(x)x32x，f(x)x22且f(0)0，所以函数在0，)上单调递增，在，)上单调递减，f(x)极大值f()，由此画出函数大致图象故，正确13解析：由于f(1)41，故f(f(1)flog22.答案：214解析：令f(x)0，即x22xx1，则函数h(x)x22x和函数g(x)x1的交点个数即为函数f(x)的零点个数，如图所示，h(x)与g(x)有两个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.答案：215解析：设2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，所以108.答案：10816 解析：令f(x)|x34x|ax20，则有|x34x|2ax，可知函数y|x34x|与y2ax恰有2个交点，如图所示，此时两函数有交点3个，此时a1或a1，解得a1或a1，而要满足两函数的图象恰好有2个交点，则必有a1.答案：(，1)(1，)第三讲 导数的简单应用一、选择题1(2015丰台模拟)直线yx4与曲线yx2x1所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D. 2设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()3若f(x)的定义域为R，f(x)2恒成立，f(1)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)4已知常数a，b，c都是实数，f(x)ax3bx2cx34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是()A B. C2 D55(2015江西八校联考)已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数f(x)，当x0时，f(x)0，若asin 1f(sin 1)，b3f(3)，cln 3f(ln 3)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是()Abca Bacb Ccba Dbac二、填空题6(2015乌鲁木齐市诊断)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是_7函数f(x)x2ex在区间(a，a1)上存在极值点，则实数a的取值范围为_8.(2015盐城模拟)若函数f(x)ln xax2bxa2b有两个极值点x1，x2，其中 a0，且f(x2)x2x1，则方程2af(x)2bf(x)10的实根个数为_三、解答题9已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值10(2015日照模拟)已知函数f(x)cos，g(x)exf(x)，其中e为自然对数的底数(1)求曲线yg(x)在点(0，g(0)处的切线方程；(2)若对任意x，不等式g(x)xf(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(3)试探究当x时，方程g(x)xf(x)的解的个数，并说明理由11(2015重庆高考)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围12已知函数f(x)xln x，g(x)ax3x.(1)求f(x)的单调递增区间和最小值；(2)若函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值答案1解析：选C因为x4x2x1的解为x1或x3，所以封闭图形的面积为Sx4(x2x1)dx(x22x3)dxx3x23x.2解析：选D设F(x)f(x)ex，则F(x)exf(x)f(x)因为x1是F(x)的一个极值点，所以F(1)0，得出f(1)f(1)0，在选项D中，观察图象得f(1)0，f(1)0，所以f(1)f(1)0与f(1)f(1)0矛盾3解析：选B构造函数F(x)f(x)2x，则F(x)f(x)20，所以函数F(x)在定义域上单调递增，又F(1)f(1)24，所以f(x)2x4的解集为(1，)4解析：选C依题意得f(x)3ax22bxc0的解集是2,3，于是有3a0，23，23，b，c18a，函数f(x)在x3处取得极小值，于是有f(3)27a9b3c34115，a81，a2.5解析：选A令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，当x0时，f(x)0，当x0时，g(x)0，当x0时，函数g(x)单调递增，函数f(x)是奇函数，g(x)xf(x)为偶函数，b3f(3)3f(3)，又1ln 32,0sin 1ln 3sin 1，3f(3)ln 3f(ln 3)sin 1f(sin 1)，即bca.6解析：f (x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f(x)0在1,1上恒成立，令g(x)x22(1a)x2a，则a.答案：7解析：函数f(x)x2ex的导数为y2xexx2exxex(x2)，令y0，则x0或x2，当x(2,0)时f(x)单调递减，当x(，2)和x(0，)时f(x)单调递增，0和2是函数的极值点，因为函数f(x)x2ex在区间( a，a1)上存在极值点，所以a2a1或a0a13a2或1ax1，大致图象如图，那么根据对应的图形，数形结合可得f(x)x1有三个实根，f(x)x2有两个实根，故方程2af(x)2bf(x)10的实根个数为5个答案：59解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.10解：(1)依题意得，f(x)sin x，g(x)excos x，g(0)e0cos 01，g(x)excos xexsin x，g(0)1，所以曲线yg(x)在点(0，g(0)处切线方程为yx1.(2)不等式恒成立等价于对任意x，mg(x)xf(x)min.设h(x)g(x)xf(x)，x.则h(x)excos xexsin xsin xxcos x(exx)cos x(ex1)sin x.因为x，所以(exx)cos x0，(ex1)sin x0，所以h(x)0，故h(x)在上单调递增，因此当x时，函数h(x)取得最小值h；所以m，即实数m的取值范围是.(3)设H(x)g(x)xf(x)，x.当x时，H(x)ex(cos xsin x)sin xxcos x0，H0，而且函数H(x)在上是连续不断的，因此，函数H(x)在上有且只有一个零点11解：(1)对f(x)求导得f(x).因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，得x，f(x)的单调递增区间为.又当x时，f(x)0，则f(x)在上单调递增，f(x)的最小值为f.(2)f(x)ln x1，g(x)3ax2，设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为y(ln x01)xx0，与g(x)的图象相切的直线方程为yx2ax，解之得x0ln x0，由(1)知x，a.第四讲 导数的综合应用1(2015上饶模拟)已知函数f(x)exmx2，g(x)mxln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m1时，试推断方程：是否有实数解2已知函数f(x)aln x1(a0)(1)当a1且x1时，证明：f(x)3；(2)若对x(1，e)，f(x)x恒成立，求实数a的取值范围3(2015菏泽模拟)已知函数f(x)(其中kR，e2.718 28是自然对数的底数)，f(x)为f(x)导函数(1)当k2时，其曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若x(0,1时，f(x)0都有解，求k的取值范围；(3)若f(1)0，试证明：对任意x0，f(x)0)上的最小值；(3)若对一切的x(0，)，2f(x)0)上不是单调函数，求实数t的取值范围；(3)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数a的取值范围答案1解：(1)由题意可得：f(x)exm.当m0时，f(x)0，所以当m0时，函数f(x)的单调增区间为R.当m0，即exm0，可得：xln(m)；令f(x)0时，即exm0，可得：xln(m)所以当m0)，易得：g(x)1.令g(x)0，可得：0x1；令g(x)1.故g(x)在x1处取得极大值，亦即最大值即g(x)g(1)1，|g(x)|1.令h(x)，所以h(x).令h(x)0，可得：0xe，令h(x)e.故h(x)在xe处取得极大值，亦即最大值h(x)h(e)3，即证ln x20，令m(x)ln x2，则m(x)0.所以m(x)在(1，)上单调递增，所以m(x)m(1)0，所以ln x20，即f(x)3成立(2)由f(x)x且x(1，e)可得a，令h(x)，h(x)，由(1)知ln x110，所以h(x)0，函数h(x)在(1，e)上单调递增，当x(1，e)时，h(x)h(e)e1，所以ae1.所以a的取值范围是e1，)3解：(1)由f(x)得f(x)，x(0，)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为f(1)，f(1)，曲线yf(x)切线方程为y(x1)；即yx.(2)由f(x)0得k，令F(x)，0x1，F(x)0，g(x)e21等价于1xxln x0，h(x)单调递增；x(e2，)时，h(x)0，(x)单调递增，(x)(0)0，故x(0，)时，(x)ex(x1)0，即1，所以1xxln xe210，f(x)恒成立4解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，令f(x)0得0x0得x.f(x)的单调递减区间是，单调递增区间为.(2)()当0tt2时，无解；()当0tt2，即0t时，由(1)知，f(x)minf；()当tt2，即t时，f(x)在区间t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t.综上，f(x)min(3)由2f(x)g(x)2，得2xln x0，aln xx，设h(x)ln xx，则h(x).令h(x)0，得x1，x(舍)当0x0，h(x)在(0,1)上单调递增；当x1时，h(x)2.a的取值范围是(2，) 5.解：(1)f(x)f(1)e2x22x2f(0)，所以f(1)f(1)22f(0)，即f(0)1. 又f(0)e2，所以f(1)2e2，所以f(x)e2xx22x.(2)f(x)e2x2xx2，g(x)fx2(1a)xaexx2xx2(1a)xaexa(x1)，g(x)exa.当a0时，g(x)0，函数f(x)在R上单调递增；当a0时，由g(x)exa0得xln a，x(，ln a)时，g(x)0，g(x)单调递增综上，当a0时，函数g(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，)，单调递减区间为(，ln a)(3)设p(x)ln x，q(x)ex1aln x，p(x)e时，p(x)0，q(x)在x1，)上为增函数，又q(1)0，x1，)时，q(x)0，q(x)在x1，)上为增函数，q(x)q(1)a10.当1xe时，|p(x)|q(x)|p(x)q(x)ex1a，设m(x)ex1a，则m(x)ex10，m(x)在x1，)上为减函数，m(x)m(1)e1a，a2，m(x)0，|p(x)|e时，|p(x)|q(x)|p(x)q(x)2ln xex1a2ln xex1a，设n(x)2ln xex1a，则n(x)ex1，n(x)ex1e时为减函数，n(x)n(e)ee1e时为减函数，n(x)n(e)2aee10，|p(x)|0)，解f(x)0，得0x1；解f(x)1；所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)因为函数f(x)在区间(t0)上不是单调函数，所以解得t0，从而g(x)0，所以g(x)在1，)上单调递增，且g(x)ming(1)2，所以a2.故a的取值范围为(，2高考大题专项练(一)函数与导数A组1(2015东北三校联考)已知实数a为常数，函数f(x)xln xax2.(1)若曲线yf(x)在x1处的切线过点A(0，2)，求实数a的值；(2)若函数yf(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)求证：a0；求证：f(x1).2(2015长沙模拟)若函数f(x)是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F(x)在I上是减函数，则称yf(x)是I上的“单反减函数”，已知f(x)ln x，g(x)2xaln x(aR)(1)判断f(