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冠今中学2014届高三第一轮复习教案 函数与导数 编稿：陈敏 审核：姜勇钢
函数与导数
一、【知识结构】

二、【真题体验】
1、函数的单调递减区间为________.
2、已知定义在R上的奇函数在区间上单调递增，若，△的内角A满足，则A的取值范围是
3、已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点,,,.若,则实数的值为______.
4、已知函数,下列命题正确的是____.(写出所有正确命题的序号)
①是奇函数; ②对定义域内任意x,<1恒成立;
③当 时,取得极小值; ④; ⑤当x>0时,若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=-sin.
三、【命题导向】
命题角度一 函数性质及其应用问题
[命题要点] 函数单调性与奇偶性、周期性的综合运用
例1、设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ＝0，f(logat)>0，则t的取值范围是________．

【训练1】已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ，则a，b，c的大小关系是________．

命题角度二 分段函数问题
[命题要点] 分段函数的单调性
例2、若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________
【训练2】已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是_______．

[命题要点] 函数切线问题
例3 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．

【训练3】设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y＝(1－x)e－x在点B(x0，y2)处的切线为l2，若存在x0∈，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是________．

命题角度三 函数的零点问题
[命题要点] 用零点存在定理判断函数零点
例4 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．

[命题要点] 含参数的方程根的问题
例5 已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由．

【训练4】已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则

命题角度四 恒成立和存在性问题
[命题要点] ∀x∈D，f(x)>g(x)的研究
例6 已知f(x)＝x3－6ax2＋9a2x(a∈R)，当a>0时，若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．

[命题要点] ∃x∈D，f(x)>g(x)的研究
例7 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．

[命题要点] ∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)＝g(x2)的研究
例8 设函数f(x)＝－x3－x2＋x－4.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a.若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x0)成立，求a的取值范围．

[命题要点] ∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)>g(x2)的研究
例9 已知函数f(x)＝2|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋2m－8.
(1)若方程f(x)＝2|m|在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m的取值范围；
(2)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[4，＋∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数m的取值范围．

命题角度五 实际应用问题
[命题要点] 基本初等函数、导数实际应用问题
例10 因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．

函数与导数练习1
1. 函数f(x)=log2(3x-1)的定义域是

2.已知曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是坐标原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为

3.当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则实数a的取值范围为

4.已知函数,若数列是上的单调递增数列,则实数a的取值范围为

5.设函数f(x)的图象关于y轴对称,又已知f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式的解集为　　　　. 

6.设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________.

7.等比数列中,,函数,则曲线 在点处的切线方程为__ __.

8.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

9.已知函数f(x)＝x2＋alnx(a为实常数)．
(1)若a＝－2，求证：函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值．

10.已知函数f(x)=(2-a)ln x++2ax(a∈R).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a<0时,求f(x)的单调区间;
(3)若对任意a∈(-3,-2)及x1,x2∈[1,3]恒有(m+ln 3)a-2ln 3>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.

函数与导数练习2
1.若函数f(x)满足f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为

2.已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(ln x)-ln x的零点个数为

3.设,定义为的导数,即,N,若的内角满足,则的值是______.

4.若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为___________.

5.已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1、x2都有恒成立,则a的取值范围是

6.已知函数f(x)=,g(x)=lox,记函数h(x)=则不等式h(x)≥的解集为　　　　. 

7．若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有　 个.

8.已知函数()在区间上有最大值和最小值.
设.(1)求、的值;
(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;

9.已知函数f(x)＝x(x－a)2，g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a(其中a为常数)．
(1)如果函数y＝f(x)和y＝g(x)有相同的极值点，求a的值；
(2)设a>0，问是否存在x0∈，使得f(x0)>g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

10.已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)．
(1)求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a＝1；
(2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
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