多元函数的凹凸性.pdf

第9卷Vol。9曲靖师专学报JOURNAIJOFQUJ INGN ORMA LCOL LEGE第1期No.l多元函数的凹凸性张国坤(会泽四中)摘要本文定义了多元函数的凹凸性概念,并给出其利定方法,最后把一元函数的詹生(J en se n)不等式推广到多元函数上去.关键词凹凸性多元函数不等式定 义1设D是n维空间 的一个区域,若 P(x l,、,、)eD,P,(xi,xZ,x n)n,则Q(x,+e(x;一x:),、2+e(x三一x:),xn+8(x孟一xn)任D,则称n是凸区域,否则称D为凹区域.定义2设r(P)是定义在凸区域D上的函数,Pl(x;:,xl 2,与)是D上的任意两点,记Pn一r兰塑李兰卫,兰塑老兰叁,一、Z乙xnl)、X一+X022PZ(x 12,x 2 2,(I)若恒有合。式,1)+.成。2)1;.,。)(或合L 兀,1)+.兀,2)1、.;。),且等号不恒成立,则称f在D上是凹(或凸)的:(2)若F(p,)+f(p2)l/2f(p。)或f(p1)+f(p2)/2o或co时,函数f在D上上凹;当Ao或C0时,f在D上上 凸.若0或CO时,f在D上严格上凹,当 八O或C0或Co时,M*(o,有f(p;)Ao或C0时,M,0,有r(pl)+f(pZ)Zf(p。),利用泰勒公式,我们不难证明+(PZ)Zf(po),当2f(P0),因 而f在D上严格上凹.反之,若f在D上严格上凹,显然在任何D;上也是严格上凹.定理4(Jc nsc n不等式的推广)设f(x,y)是凸区域D上的连续函数,任取n个正数pi,使艺p二1,任取Bi(xi,yi正D,i=1,2,n,记BO(xo,yo)=(艺px,艺尹夕,H二艺刀天X,夕小K=式x。,y。).(1)若f在D上是上凹(凸)I一1一1的,则HK(HK);(2)若f在D上是严格上凹(凸)的,且B。至少有两点不同,则HK(Hn式成立.的最小整数,记x。一与、,+xZ+x。),y。刀二1/n(y;+yZ+yn),则张国冲:多元函毅的曰凸性l1天x。,夕。)x、+x:+x.+(2.一。)x.2翻左土上纽匕二土里已卫巴二卫迎三、2./户J八、一一一大xl,y,)+.成xZ,yZ)+.众。,y.)+(2.一月)丈x。,yo)哥 卜一Z-由此得到*二.,v。)工汉二1,:)+五二:,2)+天二.,.)n即当P,=1/n时,结论成立.当P至少有两个不同时,可用归纳法证之:l)当LI+L:=m,n二2时,先设P l,PZ均为有理数,可把P l,PZ分别写成L、/m,LZ/m,且其中L l,LZ,m均为正整数,于是有念Pl式xl,yl)+PZ大xZ,少2)二令.xX卜y,卜备”:,y:,一牛。尺二、,、)+大:、m、一一一甲一一一y、)+大子2,、.yZ)+一+天xZ,yZ)1I,个1lx一+lzxZ,脚,.Kl、yl+八夕:_,_._二、j入Pl人l甲夕2离2,PI少1宁PZyZI刀刀/若PI、P:为无理数,则 可取正有理数qm与、,使得q.+r。=1,。lim且川一。q“.P I11脚脚-今)r.=p2.对于q二与r二我们 有qof(x:,y:卜r 二代xZ,yZ)f(qmx.+、x Z,q袱,+r二yZ),由于r在D上连续,两端取极限(m,O O)则得P、f(x:,y、)+p2f(x2,yZ)f(p:x、+pZ xZ,p一y一+pZ yZ)2)假设n=k时命题成立,即当q卜0,且Zq i二1,有艺q l大x,为)大艺qx,一I才一l艺q夕).现证n=k+l时命题也成立.宫一l全+I设p,0,且艺p二1,令尸二艺尸.兀x,夕1)=p*+,.众。+:,艺p,q则q,0,且艺q,二1,于是有盛一lJ一璐y。,)+尸艺;众,y)一l,*,.式一+,夕*+1)+,(客。一艺甲少,心一l)p七二,x*+,+r艺;x,。!一愈;一)全+lpx,艺刀,y:J一l)艺/讨入了八、即n=k十1时,命题成立.由数学归纳法知,对任何 白然数n(2),命题成立.对一般的多元函数,有定理5设氏x l,xZ,x n)是凸区域D上 的连续函数,任取m个正数p。,使得艺i一l曲靖师专学报自然科学版I夕夕0年第I期(总第期)pi=1,又二艺p.大x,Bi(x:i,x Zi,x)D,i=1,一:,一),K一丈客一孟!一艺px。m.记H),若f“上是上凹(凸)的,则Hk似l:);(2)若f在D上是严格上凹(凸)的,则HkHo,且p+q=l,(x,y)D,于(x,y)x0,y0,因儿二=p(p一)xp一Zyq二一pqxp一Zyqo,.瓜二 q(q一 l)x,y,一2=一pqxpyq一20大,一,;xp一夕,一=V,;x卜,夕,.心脚x,少卜,由定理2知,r(x,y)在D内是上凹的,由定理4可得青客,、(李 全二官一1bi)(青息一),即息,、(息一)(旦一)令x尸=a,yf=Sl/q得赫尔德(Holder)不等式:万/.卫、.产z艺ab(了启_,、1/戈念a,)戈1/P,艺石f例2阂可夫斯基(Mi nko vsky)不等式的证明证明设耳x,y)=(x斗yp),/p,(x,y)eD=y=kx+b是D内任一条直线,记F(x)=f(x,kx+b),伙x一y)20,y0,0P,(G,G一G川).证毕.含(审稿人:曾光容)参考文献1 1 了刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义.北京:高等教育出版社,I卯2.夕j刘玉琏,杨奎元,吕风.数学分析讲义指导书.北京:高等教育出版社,I好7.臼了 范光华.均值不等式推广的应用举例.数学通报.(2)1夕 夕 0.T heUnevenQualityofT heMultivarianteFunetio nZhangGu o人瓜nSum mary:T heartieleProvide sthedef initionoftheune v e neu alityofthemultiv ariantef unetionanditsdeterminigmeans,andextendsJens cninequ slityofmonovaeiantef unetiontomultivariant ef uneio nKeywords:Unev e nquality,Multivariantef unetion,Inequality