第十八章勾股定理.doc

初中数学资料 第十八章 勾股定理 模块复习
第十八章 勾股定理
本章知识结构图：
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法

基础知识归纳：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
　用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为
所以

方法三：，，化简得证

３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数，如；；；等

第十八章 勾股定理练习题
1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.

2.直角三角形周长为12 cm，斜边长为5 cm，求直角三角形的面积.

3.若直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.

4.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

5.等边三角形的边长为2，求它的面积.

6.如图，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________.

第6题图 第7题图
7.如图18－1－22，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.

8.在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围.

9.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

10.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l.
(1)填表：
三边a、b、c
a+b－c

3、4、5
2

5、12、13
4

8、15、17
6

(2)如果a+b－c=m，观察上表猜想：=___________(用含有m的代数式表示).
(3)证明(2)中的结论.

11.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

第十八章 勾股定理练习题参考答案
1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.
思路分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解.
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2，化简得：n2=4.
∴n=±2，但当n=－2时，n+1=－1<0，∴n=2.
2.直角三角形周长为12 cm，斜边长为5 cm，求直角三角形的面积.
思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.
解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：

由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49.(3)
(3)－(2)，得：xy=12.
∴直角三角形的面积是xy=×12=6（cm2）.
3.若直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.
解：设此直角三角形两直角边分别是3x、4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2=202，
化简得x2=16；
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96.
4.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
思路分析：（1）可设这个梯子的顶端距地面有x米高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以x2+72=252，解出x即可.
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4米，应计算才能确定.
解：（1）设这个梯子的顶端距地面有x米高，据题意得AB2+BC2=AC2，即x2+72=252，解得x=24.
轻轻告诉你 个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。——罗曼·罗兰
即这个梯子的顶端距地面有24米高.
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，即AD=4米,BD=20米，设梯子底端离墙距离为y米，据题意得BD2+BE2=DE2，即202+y2=252,解得y=15.
此时CE=15－7=8.
∴梯子的底部在水平方向滑动了8米.
5.等边三角形的边长为2，求它的面积.
解：如图，等边△ABC中，作AD⊥BC于D，
则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）,

∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）,
∴BD=1.
在直角三角形△ABD中AB2=AD2+BD2，即AD2=AB2－BD2=4－1=3.
∴AD=.S△ABC=BC·AD=.
注：等边三角形的面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.
二、综合·应用
6.如图，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________.

思路分析：由勾股定理可知，第一个三角形的面积是；第二个三角形的面积是；第三个三角形的面积是；……；则第n个三角形的面积为.
答案：
7.如图，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.
思路分析：因为∠A是一个特殊角，可考虑过点B作BD⊥AC，垂足为D，则∠ABD=30°，所以AD可求.在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BC的长.
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D.
∵∠A=60°， ∴∠ABD=30°.
∴AD=AB=×15=7.5.
BD2=AB2－AD2=152－7.52=168.75.
在Rt△BCD中，由勾股定理得,
BC 2=BD2+CD2=168.75+16.52=441.
∴BC=21.
抓住特殊角，构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线：过点C作CE⊥AB，垂足为E，但过点A作AF⊥BC，垂足为F，则是行不通的.请你想一想为什么？从中可以得到什么启发？
8.在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围.
思路分析：显然第三边b－a<c<b+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.

解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形.
①当第三边是斜边时，c2=b2+a2，∴c=.
②当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，∴c=（即）.
∵△ABC为锐角三角形，所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但是当点A从A1出发，移动到点A2位置时，在A1、A2处，∠ACB都成为直角,故点A应当在A1和A2间移动，此时<AC<.
注：此题易忽视①或②中的一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否为直角边，所以要分两种情况考虑.
9.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

思路分析：题目中没有告诉铁棒如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5.
所以最长是2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2—3米之间(包含2米和3米).
10.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l.
(1)填表：
三边a、b、c
a+b－c

3、4、5
2

5、12、13
4

8、15、17
6

(2)如果a+b－c=m，观察上表猜想：=___________(用含有m的代数式表示).
(3)证明(2)中的结论.
思路分析：（1）略；(2)根据（1）中结论得出猜想，.
(3)证明：∵S=ab,l=a+b+c,
∴.
∵a+b－c=m,
∴a+b=m+c.
又∵a2+b2=c2,
∴(a+b)2=(m+c)2,即ab=m(m+2c).
∴.
11.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
思路分析：（1）A市是否会受到台风的影响,取决于距台风中心的距离，我们可首先计算A到BF的距离，若A市到BF的距离小于200千米，则受其影响，反之则不受其影响.
（2）过A作AD=200 km，交BF于点D.计算出CD的距离，就可以计算出受影响的时间.
解：（1）过A作AC⊥BF于C，则AC=AB=150<200，
∴A市会受到台风影响.
（2）过A作AD=200 km，交BF于点D.
∴DC=，
∴该市受台风影响的时间为：×2=10小时.

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