极值点偏移：对近年新课标零点区间端点的选取浅议1.doc

对近年新课标零点区间端点的选取浅议
摘要：近几年高考数学和模拟题在函数与导数这一模块倾向于考察函数零点与极值（点）范围，而本文主要探究函数零点区间取点的一些方法，这种类型的问题区间端点值取法都是为了计算方便，数据好算，能简单判断函数符号.
关键词：函数；零点；导数；恒成立；范围
函数的零点是高考的一个热点也是难点，对含参函数零点个数的判断可以转化为方程根的个数或者进行变量分离得到参数，借助图象的思想求解,但是对于高考大题这样用图形论证代替代数论证似乎有点单薄，但是代数论证对高中生来说.不是那么容易，通过近几年新课标以及模拟试题可以看出，对于这些点的找寻似乎如神来之笔，让我和学生陷入思考，下面就分享我和学生对这些问题的思考过程.这种类型问题含参超越函数零点不可解，需要先用零点存在定理判定零点存在,即寻找一个区间，满足端点值异号，结合单调性可判断函数零点的唯一性，但是这种类型问题涉及参数时，难度比较大，学生不易理解，带着这样的问题和学生一起研究答案，发现规律，突破难点.
1.考题再现
例1 （2016年数学高考新课标I第20题）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
例2 （2016年数学高考新课标II第20题）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．
例3 （2015年数学新课标I卷第21题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时,.
2.问题探究
【例1 官方答案】（Ⅰ）略
（Ⅱ）（Ⅰ）设，在单调递减，在单调递增.
又，取满足且，
则，所以有两个零点.
（Ⅱ）设，则，所以只有一个零点.
（III）设，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.
又当时，，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.综上，的取值范围为.
【师生探究】在寻找一个点使得，参考答案给的条件：取满足且，这是如何寻找的呢？下面就分析我们的想法：
方式1.限定，所以，，从而有

在上，由，解得
取且（取交集，同时满足），也就是要找的的范围.只不过这样这个数据比较难看，我们可以进一步放缩，放缩后能提取公因式是一个比较不错的选择，
方式2.继续缩小范围，限定时，

在上，由，解得
取且（取交集，同时满足），也就是要找的的范围.
方式3.在上面的分析过程中，都是先限定范围对指数函数进行放缩，注意到在递减，可以让更小，如,,令则，取且，也就是要找的的范围.当然这类问题也可以继续让范围更小.这样官方答案就可以解释了， 让即时，则，从而有即 时
综上当且时，也就是要找的的范围.这里面的放缩，其实是动态放缩与参数有关系，有两个原因，一方面放缩后能提取公因式，易判断符号.另一方面，取交集时也限定了的范围，这样就解释了可以这样选取端点值.
在上面区间的选取过程中，都是在不断缩小范围对指数函数进行放缩，这样取整数选取方便好算，也可以提取公因式，从而更易判断值得符号，对指数进行放缩可以放缩为与参数有关的量，或者把某一项常数化，转化为可解的多项式函数比较.这种类型的问题需要局部放缩，动态取点.
【例2】解法1(官方答案)：（II） 当时，等价于．
令，则，，
（I）当，时，，
故，在上单调递增，因此；
（II）当时，令，得，，
由和，得，
故当时，，在单调递减，因此，
综上，的取值范围是．
解法2：（寻找零点区间），，
则 ，，令
则，，
当时，，所以在单调递增即在单调递增
（I）当即，则在恒成立，
所以，满足条件；
（II）当即，由在单调递增
，
所以在存在唯一零点，使得
则单调递减，单调递增。
由,不满足条件.
综上（I）（II）知
【师生探究】 在上式解法二证明中也出现了在证明在存在唯一零点，根据如何选取这样的点呢？首先我们发现 ，所以，所以只需这样有对数函数性质，我们只要选取即可.我们对局部进行放缩，动态取点，从而达到目的.这也是我们常见的取法技巧，遇到指数放缩取对数，遇到对数放缩取指数的原理.
【例3 官方答案】（I）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（II）略
【师生探究】易得存在一点使得.如何寻找一个点使得，参考答案给出且？这是如何得到了呢？在上单调递增，单调递增. 观察，，令，则 即 取且，也就是要找的的范围.
继续缩小范围，令，，令，则 取且，也就是要找的的范围.
继续缩小范围，令，，令，则
取且，也就是要找的的范围.在上述区间选取的过程中，数据的选取其实不唯一，可以发现的值是可以估算的.
3.问题应用
1.设 ，函数，证明函数仅有一个零点.（广东高考题）
2.设，函数，证明函数在区间仅有一个零点.（2015江南十校3月模拟改编）

3.设，函数 证明函数在区间仅有两个零点.（2016年新课标II改编）
答案：（1）零点区间,对进行放缩，让 即可
（2）零点区间对且 解得且
取端点值即可，使得 ;
限定，且 解得且
当满足且时，，故存在唯一零点；
（3）取零点区间
【教师升华】在例1局部放缩，动态取点的计算中，其实隐含极限过程例如：,，因此当足够小时， 所以在区间上，不断缩小的范围，局部放缩解不等式组 ，则，从而对自变量的范围进行锁定,进而找到这样满足条件的数.这样选取得方式我们遵循简单计算，易于判断符号，从而有一些策略，对含对数和指数这样形式的放缩为含参数的形式，能提取公因式，转化为多项式函数比较，或者直接化为常数比较.