第11课正余弦函数的图象与性质(一).doc

【课 题】 §1.3.2 正余弦函数的图象与性质（一）
一、【学习目标】
1．学会用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础由诱导公式画出余弦函数的图象；
2．学会借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质．
二、【课前导学】
1．什么叫正弦线？
答：设任意角的终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为，我们称线段为角的正弦线。
2．利用单位圆中正弦线作正弦函数，图象

作法见课本．由图可以看出，正弦函数，图象上起着关键作用的点有以下五个 ， ， ， ， ．
2．余弦函数的图象
向左平移
个单位
，

，

由诱导公式 知，余弦函数，与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由正弦函数的图象向 左平移 个单位得到，即：
3．正弦函数的图象叫做 正弦曲线 ；余弦函数的图象叫做 余弦曲线 ．
4．正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数
正弦函数
图象
，

，

定义域

值域

最值
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1。
周期性
周期函数，
周期函数，
对称性
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
对称中心
点（(kπ，0）(k∈Z)
点（x=＋kπ）(k∈Z)
对称轴
直线x=＋kπ(k∈Z)
直线x=kπ(k∈Z)
单单调性
增区间
［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)
减区间
［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)
三、典型例题
例1用“五点法”画出下列函数的简图：
（1），；(2)，．
【思路分析】列表，描出五个关键点，用光滑曲线连接即可．

【解】（1）列表
自变量

函数值
y
1
2
1
0
1

描点，连线．

（2）列表
x
0

sinx
0
1
0
-1
0
描点，连线．

【解后反思】在画或的图象时，所取的五点应由、、、、来确定，而不是令、、、、．

例2求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．
【思路分析】
【解】（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，
所以，函数，的最大值是．
（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值
的 的集合是，由，得，
即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是．
【解后反思】函数，的最值：最大值，最小值．
【变题】求函数（）的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值．
解：因为，所以，
故当时，函数有最大值2；当时，函数有最小值1．

例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0．
(1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)．
【思路分析】比较同名函数值的大小，可以利用函数的单调性，但需考虑是否在同一单调区间上．
【解】(1)∵－＜－＜－＜．且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数．
∴sin(－)＜sin(－)[来源:学& 科&网]即sin(－)－sin(－)＞0
(2)cos(－)＝cos＝cos， cos(－)＝cos＝cos
∵0＜＜＜π 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos， 即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
【解后反思】利用单调性比较大小，必须在一个单调区间上才能比较两个数的大小．
【变题】不通过求值 ，比较下列各数的大小．
（1） 　> ； （2） > ；
（3） > ； （4） >

四、课后巩固
1．函数的定义域是 ．
2．函数值从小到大的排列顺序为 ．
3．对于函数，给出下列结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数是奇函数．其中所有错误结论的序号为 ④ ．
4．若奇函数的定义域为，则a+b+c= 0 ．
5．已知的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是 2π ．
6．方程的实根有 3个 ．
7．函数+1的图象的对称中心的坐标为 （(kπ，1）(k∈Z) ．
8．函数是 偶 函数（填函数的奇偶性)．
9．满足不等式：的的集合 ．

10．作出下列函数的图象，并根据图象判断函数的周期性：
（1）；（2） ．
解：（1）函数的周期为；（2）函数的周期为．