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习题
1.1 已知
求:(a) A和B 的大小； (b) A和B的单位矢量； (c) ； (d) ； (e)A和B之间的夹角; (f) A在B上的投影。
解：:(a) A和B 的大小
(b) A和B的单位矢量
(c)
(d)
(e)A和B之间的夹角
根据得
(f) A在B上的投影
1.2如果矢量A、B和C在同一平面，证明A·(BC)=0。
证明：设矢量A、B和C在同一平面为平面
1.3已知A=、B和C,
证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。
证明：1）三个矢量都是单位矢量
2）三个矢量是共面的
1.4 ;
当时，求。
解：当时，
所以
1.5证明三个矢量A、B和C形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。
证明 ： 因为
所以三个矢量A、B和C形成一个三角形
此三角形的面积为
1.6 P点和Q点的位置矢量分别为和，求从P点到Q点的距离矢量及其长度。
解：从P点到Q点的距离矢量为
从P点到Q点的距离为
1.7 求与两矢量A和B都正交的单位矢量。
解：设矢量与两矢量A和B都正交，则
（1）
（2）
（1）+（2）得 （3）
（1）+3（2）得 （4）
如果矢量是单位矢量。则
1.8将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
解：在圆柱坐标系中
在圆球坐标系中
1.9将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。
解：根据
得
1.10将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。
解：根据
得
=
1.11 计算在圆柱坐标系中两点和之间的距离。
解：两点和之间的距离为
1.12空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的单位矢量； (d) A和B之间的夹角； (e) A和B的大小； (f) A在B上的投影。
解：(a)
(b)
(c)
(d) A和B之间的夹角
(e) A和B的大小
(f) A在B上的投影
=
1.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点矢量为A，在点矢量为B；求:(a)A+B ； (b) A·B；(c) A和B之间的夹角。
解：转换到直角坐标系
(a)A+B
(b) A·B
(c) A和B之间的夹角
1.14计算在圆球坐标系中两点和之间的距离及从P点到Q点的距离矢量。
解：根据圆球坐标与直角坐标的关系
1.15空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A，B，求:(a) A+B ； (b) A·B； (c) A和B的单位矢量； (d) A和B之间的夹角； (e) A和B的 大小； (f) A在B上的投影。
解：(a)A+B
(b) A·B
(c) A和B的单位矢量
；
(d) A和B之间的夹角
(e) A和B的 大小
(f) A在B上的投影
1.16 求的梯度。
解：
1.17求标量场在点(1,1,1)沿方向的变化率。
解：
1.18由，利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导
。
解：在直角坐标系
=
1.19求的梯度。
解：
1.20 由，利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导
解：
1.21 求的梯度。
解：
1.22 求梯度，其中为常数。
解：
1.23 在圆球坐标系中，矢量场为
其中为常数，证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零，即
解：根据斯托克思定理
=0
因此 =0
1.24证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。
证明：
(1.3-8e)
(1.3-8f)
（1）
（2）
1.25由(1.4-3)式推导(1.4-4)式。
证明：
A (1.4-3)
(1.4-4)
取一六方体元，中心在体积为，下面是六个面的中心位置，面积和法向
序号
中心位置
法向
面积
各面中心位置的
1
2
3
4
5
6
求包围体积的封闭面的通量，得
A
1.26 由(1.4-4)推导(1.4-5)式及 (1.4-6)式。
解： (1.4-4)
(1.4-5)
(1.4-6)
（1）
由
得
（2）
1.27 计算下列矢量场的散度
a)
b)
c)
解：a)
b)
c)
1.28 计算散度，其中为常矢量。
解：
1.29 由推导。
解：
1.30 已知
a) (r)
b) (r)=
c) (r)=
求。
解：
a)
b)
c)
1.31 求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。
解：
解法1：
为半径为1的圆弧侧面；为侧平面；下端面；上端面。
=
解法2：
1.32由(1.5-2)式推导(1.5-3)式。
解：
(A) (1.5-2)
A (1.5-3)
1）设，为边长为和的，中心在的矩形回路
2）设，为边长为和的，中心在的矩形回路
3）设，为边长为和的，中心在的矩形回路
因此
1.33 计算矢量场的旋度
解：
1.34 计算
解：
1.35已知，计算
解：
当
==0
1.36 证明矢量场E=既是无散场，又是无旋场。
解：
1.37 已知E=，求E和E。
解：
1.38 证明。
解：
1.39 已知计算
解：根据亥姆霍兹定理
因为，因此；对于
1.40 已知计算
解：根据亥姆霍兹定理
因为，因此；对于
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