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第五章 习题
5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为,电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。
解：设电容器极板面积为S，电容器中的位移电流为,传导电流为
5.2由麦克斯韦方程组推导满足的波动方程。
解：解：对麦克斯韦的旋度方程
两边取旋度得
上式左边利用矢量恒等式，并考虑到，上式右端代入麦克斯韦方程，得
5.3 在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明满足下列方程
解：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为
两边取旋度得
上式左边利用矢量恒等式，并考虑到，上式右端代入麦克斯韦方程，得
5.4 在和两种理想介质分界面上
求。
题5.4图
解：由两种理介质分界面的边界条件
得 ，
5.5在法线方向为的理想导体面上
求导体表面上的。
解：由理想导体表面上的边界条件
得导体表面上的为
5.6自由空间中，在坐标原点有一个时变点电荷，其中均为常数。求标量位。
解：根据(5.4-１１）式
取得
将代入，考虑到时变点电荷在坐标原点，得
5.7自由空间中，在坐标原点有一用细导线连接的时变电偶极子，电偶极矩为，其中均为常数。求标量位，矢量位。
解：1）标量位
，
（2）矢量位
细导线中的电流为
代入矢量位
得
5.8已知导电媒质中
求：（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）由麦克斯韦方程
（2）
（3）
（4）
5.9 在无源的自由空间
求：，。
解：
由得
5.10已知在空气中
在圆球坐标系中，求。
解：
由
5.11已知在空气中
在圆球坐标系中，求。
解：在圆球坐标系中
利用关系式得
上式代入得
5.12 已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中
为常数，
（1） 求；
（2） 求；
（3） 验证满足边界条件；
（4） 求各理想导体面上的面电流；
（5） 求穿过管截面的平均功率。
题5.12图
解：（1）由得
（2）
（3）在的理想导体面上，因此
即满足理想导体面边界条件。
（4）由
在的理想导体面上
在的理想导体面上
在的理想导体面上
在的理想导体面上
（5）
5.13直接由麦克斯韦方程的复数形式推导电场强度和磁场强度满足的亥姆霍兹方程。
解：根据麦克斯韦方程的复数形式
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)式两端求旋度后将（2）式代入得
利用矢量恒等式，并考虑到得
（5）
(2)式两端求旋度后将（1）式代入得
利用矢量恒等式，并考虑到得
5.14直接由麦克斯韦方程的复数形式推导（5.７-1８）式。
解：
(5.７-1８b)
将 代入，对于均匀介质，得
将洛伦兹条件的复数形式代入，得
5.15在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明满足下列方程
解：式两端求旋度将
代入得
利用矢量恒等式，并考虑到在均匀媒质中得
5.16在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明满足下列方程
解：式两端求旋度将
代入得
利用矢量恒等式，并考虑到在均匀媒质中得
5.17 写出电磁场边界条件的复数形式。
解：
解： 电磁场边界条件的复数形式和瞬时形式是相同的。即
对两理想介质的界面
在理想导体表面
5.18 试写出矢量磁位在两理想介质分界面的边界条件（用直角坐标系，设介质分界面法向为）。
解： 展开和得
根据， 得
5.19 证明电场可以用矢量磁位表示为
证明： 将
代入
得
令得
5.20如图所示，两个厚度为，间距为的平行导体长板。导体板宽度为，板上恒定电流为构成回路，电压为。
（1） 导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。求穿过端面的功率。
（2） 证明流进电导率为的单位长度导体板中的功率正好等于欧姆定律计算出的单位长度导体板的损耗功率。
题5.20图
解：（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应，导体板之间的电场强度为
，
穿过端面的功率为
（3） 电导率为的导体中的电流密度为
由，导体中的电场为
流进电导率为的单位长度导体板中的功率为
式中为宽厚为的单位长度导体板的电阻。
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