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第3章习题
3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为处的速度为，因此电流面密度为
3-2 在铜中，每立方米体积中大约有个自由电子。如果铜线的横截面为，电流为。计算
1） 电子的平均漂移速度；
2） 电流密度；
解：2）电流密度
1） 电子的平均漂移速度
，
3-3 一宽度为传输带上电荷均匀分布，以速度匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为
因为
3-4 如果是运动电荷密度，是运动电荷的平均运动速度，证明：
解：如果是运动电荷密度，是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为
代入电荷守恒定律
得
3-5 由的铁制作的圆锥台，高为，两端面的半径分别为和。求两端面之间的电阻。
解：用两种方法
（1）
题3.5图
，
（2）设流过的电流为，电流密度为
电场强度为
电压为
3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为，电流密度的大小为，方向和界面法向的夹角为；媒质2的参数为。求媒质2中的电流密度的大小、方向和界面法向的夹角，以及界面上的电荷面密度。
解：根据边界条件
，，
，
媒质2中的电流密度和界面法向的夹角为
，
3-7 同轴电缆内导体半径为，外导体半径为，内外导体之间有两层媒质。内层从到，媒质的参数为；外层从到，媒质的参数为；求
（1） 每区域单位长度的电容；
（2） 每区域单位长度的电导；
（3） 单位长度的总电容；
（4） 单位长度的总电导。
解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同轴电缆内导体之间单位长度的漏电流为
那么在半径为的圆柱面上电流均匀，电流密度为
电场强度为
第一层的电压为
第二层的电压为
第一层单位长度的电导为
第二层单位长度的电导为
单位长度的总电导为
利用静电比拟
第一层单位长度的电容为
第二层单位长度的电容为
单位长度的总电容为
其中
3-8 在上题中，同轴电缆内外导体之间的电压为，利用边界条件求界面上的电荷面密度。
解：
由上题，
因此
3-9 两同心导体球壳，内导体球壳半径为，外导体球壳半径为。两同心导体球壳之间填充两层媒质，内层从到，媒质的参数为；外层从到，媒质的参数为；求同心导体球壳
（1） 每区域的电容；
（2） 每区域的电导；
（3） 总电容；
（4） 总电导。
解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同心导体球壳之间的漏电流为
那么在半径为的圆球面上电流均匀，电流密度为
电场强度为
第一层媒质的电压为
第二层媒质的电压为
第一层媒质单位长度的电导为
第二层媒质单位长度的电导为
单位长度的总电导为
利用静电比拟
第一层单位长度的电容为
第二层单位长度的电容为
单位长度的总电容为
其中
3-10 上题中，内外导体之间的电压为，利用边界条件求界面上的电荷面密度。
解：
由上题，
因此
3-11 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为电导率分别为，平板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。
解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为、、，根据电压关系和边界条件，、、满足以下关系
解此方程组得
3-12 在§3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。
解：设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为的弧面，流过此弧面的电流密度为，则由 得
由此得
两弧面之间的电压为
该导电体沿径向的电阻为
3-13 圆球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为，电导分别为的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。
解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为的球面，流过此球面的电流密度为，则由得
或
电场强度为
电压为
由此求出电流与电压的关系后，电场为
内导体表面的电荷密度为
外导体内表面的电荷密度为
媒质分界面的（驻立）电荷密度为
3-14 求3-11题中电容器的漏电导。
解：由3-2题得
流过电容器的电流为
所以
3-15 求3-13题中圆球形电容器的电容及漏电导。
解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。
；；；
3-16 分别求3-11题及3-13题中电容器的损耗功率。
解：（1）3-11题
（2）3-13题
3-17 边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为的电解液，除导电板盖的电位为V外，槽的其余五个边界面电位为零。求电解液中的电位。
解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。
3-18 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。求接地电阻。
解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为的半球面，在此半球面上电流密度相同，显然满足关系
电场强度为
导电球的电位为
因此导电球的接地电阻为
题3-18图
3-19 在电导率为的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。
解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为
因为介质中的平行双导线单位长度的电容为
因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为
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