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第八章 电磁辐射与天线
8.1 由（8.1-3）式推导(8.1-4)及(8.1-5)式。
解
(8.1-3)
代入，在圆球坐标系
可求出的3个分量为
(8.1-4)
将上式代入，可得到电场为
代入得
(8.1-5)
8.2 如果电流元放在坐标原点，求远区辐射场。
解 解1 电流元的矢量磁位为
在圆球坐标系中
由，对远区辐射场，结果仅取项，得
根据辐射场的性质，得
解2 根据 (8.1-13)
(8.1-14)
8.3 三副天线分别工作在30MHz,100MHz,300MHz,其产生的电磁场在多远距离之外主要是辐射场。
解：根据远区场的要求，取
8.4在某天线的远区中，矢量位
求该天线的远区辐射电磁场。
解：在圆球坐标系中
由，得
在远区
因此
将，代入，对辐射场，仅取项得
由辐射场的性质
8.5由(8.2-10)证明(8.2-11)。
解
辐射强度为
（1）
而可表示为
（2）
式中是和辐射源有关的常数。因此
（3）
（4）
（5）
（6）
主射方向的方向性系数也简称为方向性系数。
(8.2-10)
将（5）和（6）代入(8.2-10)式，得到用归一化方向性因子表示的方向性系数
(8.2-11)
8.6（1）由(8.2-10)证明
=
式中和分别为待测天线的辐射功率和在主射方向上某一点的电场，和分别为用参考全向天线代替待测天线后的辐射功率和在同一点的电场。
（2）根据上式解释天线方向性系数的意义。
解： 1）证明 =
(8.2-10)
此式说明，天线方向性系数的意义是，当使有向天线和全向参考天线在主射方向的电场相同时，有向天线的辐射功率要比全向参考天线的辐射功率小倍。
此式说明，天线方向性系数的意义是，当使有向天线和全向参考天线在主射方向的辐射功率相同时，在主射方向上，有向天线的辐射功率密度要比全向参考天线的辐射功率密度大倍。
8.7长度为一个波长的对称线天线称为全波天线。写出全波天线的方向性因子。
解 对称线天线的方向性因子为
当对称线天线是长度为一个波长的全波天线，
因此
8.8高度为的导线上电流均匀分布，电流强度为，且同相，求辐射场。写出方向性因子。
解 取坐标系，使天线沿轴，中点在坐标原点。首先在处取电流元，在场点处的辐射电场为
式中是电流元到场点的距离，是与轴的夹角，。当时，可以近似认为线和线平行，因此可取近似
代入（8.3-2）式得
将代入上式，对辐射场沿电流积分，得
积分可得到对称线天线的辐射电场为
式中方向性因子为
远区的辐射磁场为
8.9 长度为的短对称天线沿z轴放置，用两种方法计算远区辐射电场。
（1）利用（8.3-6）和（ 8.3-7）式计算；
（2）天线上电流分布近似为，利用电流元的辐射场积分计算；
（3）比较以上两种结果。
解 （1）
（8.3-6）
（ 8.3-7）
，
（2）
电流元的辐射电场为
在短对称天线上取电流元，其辐射场为
将代入，并积分，可得对称线天线的辐射场为
对于远区辐射场取，，由于,因此，
可以看出长度为2，电流分布为的短天线的辐射场相当与长度为电流为的电流元的辐射场。
8.10 计算上题短对称天线的辐射功率和辐射电阻。
解
（1） 短对称天线的辐射场为
外辐射的总功率为
辐射电阻为
，
8.11 工作于100MHz的半波天线的辐射功率100W。求（1）天线中心馈电处的电流强度；（2）在最大辐射方向上距离10km处的电场强度。
解：半波天线的辐射电场为
，
（1）
（2）
8.12长度为的行波天线沿z轴放置，电流分布为，，求该行波天线的远区场。并写出的行波天线的方向性因子，画出面方向图。
解： 对于线天线
在远区，，
将以上近似代入后积分得
天线长度E面方向图
8.13 计算（8.3-5）式中的积分。
解： （8.3-5）
8.14 计算半波天线的方向性系数和辐射电阻。
解：半波线天线的辐射电场为
辐射功率密度为
辐射功率为
辐射电阻为
方向性系数
8.15 计算全波天线的方向性系数和辐射电阻。
解：半波线天线的辐射电场为
辐射功率密度为
辐射功率为
令，则上式变换为
，
辐射电阻为
方向性系数
8.16 计算(8.4-4)式给出的矢量磁位的旋度。
解： （ ，） (8.4-4)
A
**8.17 有磁芯的多圈绕制的磁性环天线的辐射电阻为
式中，是环天线的半径，是圈数，磁芯的相对磁导率。对于有100圈的磁芯电小环天线半径为，工作频率为，，求辐射电阻。
解： ，
8.18 已知位于坐标原点z=0平面内的矩形口径尺寸为，口径相位为同相场，极化方向为y方向。若口径内的电场振幅为
求远区辐射场。并写出方向性因子。
解：利用式（8.5-14）式，口径场的远区辐射场为
可近似取，，，场点用球坐标，即，，代入以上积分得
**8.19 求上题口径天线的方向性系数。
解 此口径天线辐射电场为
这是矩形波导模场，对应的辐射功率为
平均辐射强度为
最大辐射强度为
方向性系数为
8.20 由(8.5-14)式推导(8.5-15)式。
解：
(8.5-14)
表示的一个直角坐标分量，则
即
(8.5-15)
另，
8.21 由(8.5-15)式推导(8.5-16)和(8.5-17)式。
解：
(8.5-15)
设口径面在面，则
利用远区的近似条件，
代入(8.5-15)式得
取
，
则口径面的远区辐射场可简化为
(8.5-16)
(8.5-17)
(8.5-18)
(8.5-19)
式中
(8.5-20)
8.22 直径3米的反射面天线，如果口径场不均匀分布系数为，效率为，求此反射面天线工作于的增益。
解：,
根据 (8.5-21)
8.12 若二元天线阵的间距，分别绘出相差为时阵因子的方向图。
解：二元天线阵的阵因子为
，（1），
（2），
（3），
（4），
(1) (2)
(3) (4)
8.24 二元天线阵的间距，分别绘出相差为时阵因子的方向图。
解：二元天线阵的阵因子为
，（1），
（2），
（3），
(1) （2） (3)
8.25 若二元天线阵的相差为，分别绘出间距时阵因子的方向图。
解：二元天线阵的阵因子为
，
（1），
（2），
（3），
（1） （2） （3）
8.26 若二元天线阵的相差为，分别绘出间距时阵因子的方向图。
解：二元天线阵的阵因子为
，
（1），
（2），
（3），
（1） （2） （3）
8.27 两半波天线组成的二元天线阵轴沿x轴，天线取向为z向，间距为，要使主射方向为，求两半波天线上电流的相位差。
题8.27图
解：两半波天线组成的二元天线阵如图所示。
由于半波天线在面为最大，因此要使主射方向为，要求二元阵的主射方向为，根据二元阵主射方向的关系
所以，此两半波天线组成的二元天线阵的电流相位差为
8.28 四个半波天线组成的均匀线阵，取阵轴为z轴，半波天线取向为x方向，间距，电流相位差为，求（1）主射方向；（2）分别写出面和面的方向因子。
解：对于半波天线组成的均匀线阵，H面的主射方向仅由阵因子决定。
由（8.7-9）式
由于阵轴为z轴，因此，在H面的主射方向为，即z轴为H面的主射方向。
8.29 均匀直线阵间距为，相位差，分别绘出间距时阵因子的方向图。
解
8.30 电路板上有两种导线走线，第一种为两导线平行，长度均为，间距为，且，，导线上电流均匀，电流强度均为，两导线相位相反；第二种为三导线平行，长度均为，间距均为，且，，导线上电流均匀，中间导线电流强度为，相位为0，两侧两导线电流强度为，相位为。 分别求两种情况的辐射场。
解: (1)第一种情况可看成平行放置的两个相位相反的电流元组成的二元阵
(2)
8.31 分别求上题两种情况的辐射功率。
解: (1)
当阵轴沿轴时
(2)
8.32 证明平行放置的电流元与其具有相反相位的镜像电流元，在对称面上的总辐射电场切向分量为零。
解:
8.33 证明垂直放置的电流元与其具有相反相位的镜像电流元，在对称面上的总辐射电场法向分量为零。
8.34 近似为理想导电体的地面上空处水平架设长度的行波天线，行波天线电流分布为，求辐射场及方向因子。
##解：地面的影响可用一相位为的镜像行波天线代替，因此，其方向性因子为行波天线的的方向性因子乘以二元阵的阵因子。取行波天线平行z轴，在天线所在的垂直面上，由题8-11，
二元阵的阵因子为
总方向性因子为
在题8-8计算的行波天线的辐射场中的方向性因子用总方向性因子替换后得辐射场为
8.35 近似为理想导电体的地面上空水平架设一半波天线，为使其在H面内仰角为方向为主射方向，求天线的架设高度。
解：地面的影响可用一相位为的镜像半波天线代替，半波天线与其镜像形成一个二元阵，H面的主射方向仅由阵因子决定。阵因子为
主射方向满足
镜像天线的相差为
仰角为方向对应的
天线的架设高度为
8.36近似为理想导体的无限大地平面上高度为处水平架设一半波天线作为发射天线。在距离发射天线水平距离为D处放一接收天线，要使接收点的场强最大，求接收天线应架设的高度。
解：接收点的场为发射天线的直达波与地面的发射波之和，反射波可由发射天线镜像的直达波计算，即
式中为发射天线方向性因子；，分别为发射天线及其镜像到接收天线的距离，可用，，表示为
8.37 求磁流强度为，面积为S的小磁流环的远区辐射场。
解：
小电流环的远区辐射场为
(8.4-11)
(8.4-12)
根据对偶原理，作变换，，，，，就得到小磁流环的远区辐射场为
8.38 分别求出在无限大的理想导电体上方水平或垂直放置的磁流元的镜像。
解
8.39 推导包括电性源和磁性源的互易定理。
解：
设空间有两组源、和、，分别产生的场为、和、，如图所示。用这两组场形成两个新的矢量和，分别求散度，并利用矢量恒等式展开，得
图
(1a)
(1b)
对于简单媒质，将， ，，代入得
(2a)
(2b)
以上两式相减得
(3)
上式两边对区域进行体积分，并利用高斯定理，将左边的体积分化为包围区域的封闭面积分得
(4)
下面证明不管场源在封闭面的里面还是外面，上式左边的面积分总为0。
当场源在封闭面的外面时，封闭面里面区域中无源，上式右边体积分的被积函数为0，体积分也就为0，那么左边的面积分为0。
当场源在封闭面的里面时，先证明当封闭面为无限大时，面积分为0。如果封闭面无限大，记作，可以认为是半径为无限大的球面。有限源在无限大的球面上产生的场是球面波，因此有
，
式中为无限大的球面的法线方向，也为波传播方向。将上式代入(4)式左边的被积函数，得
利用矢量恒等式，考虑到对于球面波，，得
因此有
(5)
当场源在封闭面的里面时，封闭面外面的区域中无源，对于由和组成的包围的封闭面
(6)
上式减去(8.9-5)式，得到当场源在封闭面的里面时也有
(7)
将上式代入(4)式，得
（8）
8.40在自由空间有相距为30km的两副相同的反射面天线，一收一发。工作频率为，增益为，发射天线输入功率为， 求接收天线的接收功率。
解：
根据(8.10-11)式，接收天线的最大接收功率为
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