万有引力定律应用.doc

万有引力与航天学案21、22班
第四节 万有引力理论的成就 姓名 学号
探索：自学尝试解决下列问题
1.为什么说科学真是迷人？
万有引力的发现，给天文学的研究开辟了一条康庄大道.可以应用万有引力定律“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体，这些累累硕果体现了万有引力定律的巨大的理论价值。
2.研究天体运动都可以运用哪些公式和规律？
万有引力定律：
圆周运动规律：
3.万有引力定律都有哪些作用？
万有引力定律的成就在于它告诉了我们一切物体间都存在作用力，并把这种作用力进行了量化。同时它可用来研究天体运动规律、发现未知天体。
要点归纳
1.研究天体运动的理论依据
我们现在对天体运动的计算只能是近似运算，所以我们把天体的运动看做是由万有引力提供向心力的匀速圆周运动。
2.相关公式
研究天体运动：
研究天体表面物体重力：
或
3.卫星作匀速圆周运动各物理量随轨道半径的变化情况
（1）向心力和向心加速度
（2）卫星的线速度
（3）卫星的角速度
（4）卫星的周期
4.估算天体的质量
当做圆周运动的天体绕中心天体运行时，知道其轨道半径r和运行周期T，引力常量为G，求该中心天体的质量。

5.估算天体的密度
当做圆周运动的天体绕中心天体运行时，知道其轨道半径r和运行周期T，中心天体的半径为R，引力常量为G，求该中心天体的密度。

当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时，中心天体的密度又可表示为：
说明：（1）在求天体质量时，只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量。
（2）应掌握地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期等，在估算天体质量时，应作为已知条件。
6．发现新天体
凭借着万有引力定律，通过计算与观察，在笔尖下发现了新天体，这充分的显示了科学理论的威力。在浩瀚的宇宙中，还有许多的未知领域，同学们应该刻苦学习理论知识，掌握一些科学的研究方法，为了人类的发展，去发现更多的奥秘。
例题探究与解答
1.利用行星估算中心天体的质量
例1 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径，地球质量，日地中心距离，地球表面处的重力加速度，1年约为，试估算目前太阳的质量M（保留一位有效数字，引力常量未知）

说明：不能将地球质量和地球表面物体的质量混为一谈。在引力常量未知的情况下应能利用题目中的已知量来求得。
2.估算天体的密度
例2 一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作。宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。

3.万有引力定律与角速度、周期等
例3 如果到某一天，因某种原因地球自转加快，则地球上物体重量将发生怎样的变化？当角速度等于多少时，赤道上的物体重量为零？（，，）。

说明：在通常情况中，物体随地球自转所作的圆周运动所需向心力很小，故可在近似计算中认为万有引力等于重力。但若要考虑自转的影响时则不能近似处理。
合作求解
1.用火箭把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧秤和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？

跟踪练习
1．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”.这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
A．公转半径R较大 B．公转周期T较小
C．公转速率v较小 D．公转角速度ω较小
2．把太阳系各行星的轨迹近似的看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星 （ ）
A．周期越小 B．线速度越小 C．角速度越小 D．加速度越小
3．若已知万有引力常量为G，则已知下面哪组选项的数据不能计算出地球的质量 （ ）
A．已知地球的半径和地球表面的重力加速度；
B．月球绕地球运行的周期和月球离地球中心的距离；
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运动周期；
D． 地球同步卫星距离地面的高度；
4．科学家们推测，太阳系的第十大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知
A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星的质量与地球相等 D．这颗行星的密度与地球相等
5．可以发射这样一颗人造地球卫星，使其圆轨道 （ ）
A．与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆
B．与地球表面上某一纬度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
6．在绕地球运行的人造地球卫星上，下列那些仪器不能正常使用 （ ）
A．天平 B．弹簧秤 C．摆钟 D．水银气压计
7．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是 （ ）
A．4年 B．6年 C．8年 8/9年
8．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，只需要 （ ）
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运动速度
9．太阳由于辐射，质量在不断减小，地球由于接收太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在增加。假定地球增加的质量等于太阳减少的质量，且地球的轨道半径不变，则 （ ）
A．太阳对地球的引力增加 B．太阳对地球的引力减小
C．地球运行的周期变长 D．地球运行的周期变短
10．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的方法是 （ ）
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接
D．无法实现对接
11．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，在此行星上一昼夜的时间是6h，在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%。已知引力常量，求此行星的平均密度。

12．高空遥感探测卫星在距地球表面高为h处绕地球转动。如果地球质量为M，。半径为R，人造卫星质量为m，万有引力常量为G，试求
（1）人造卫星的线速度
（2）人造卫星绕地球转动的周期
（3）人造卫星的向心加速度

13.地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。

14.假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力的加速度g地之比等于多少？

15.某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？

16. 宇航员站在一星球表面上某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常数为G，求该星球的质量M。

17.宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，从而不致因万有引力作用而吸引到一起．
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比．
（2）设两者的质量分别为m1、 m2，两者相距L,试写出它们角速度的表达式．

18.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。
16. 解：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平距离为x，则
x2+h2=L2 ①
当初速度增大到2倍，水平射程也增大到2x，即
(2x)2+h2=(L)2 ②
由①与②式联立
4(L2－h2)+h2=3L2
L2=3h2
h= ③
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律有
h=gt2
即g= ④
将（3）式代入④式可得
g=
由万有引力定律和牛顿第二定律

化简后可得星球的质量

将⑤式g值代入上式

18.解析：以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
①
②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有 ③
④
由以上各式解得 ⑤

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