数列例讲A（问题与练习）.doc

【代数十讲】
数列例讲-A
问题与练习 陶平生

基本内容与方法：存在问题，结构问题，变形配凑法，代换法，母函数法，递推法，归纳法，构造法，调整法．

、数列满足：，，
、求的通项公式；
、证明：对于每个正整数，．
、证明以下命题：
、对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
、存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数，且成等差数列．
、试求最小的正整数，使得对于满足条件的任一具有项的正整数数列， 其中必有连续的若干项之和等于．
、数列的前五项为，从第六项起，每项的值等于它前面所有项的乘积减；证明：该数列前项的乘积等于这项的平方和．
、将等差数列{}：中所有能被或整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列{}，求的值.
、设为下述自然数的个数：的各位数字之和为且每位数字只能取或，求证：是完全平方数，这里 ，…．
、证明：对于任何正整数，在集合中，可以取出个数，其中任三数都不成等差数列．
、给定数列，其中，数列满足： 数列满足：，．
证明：可表为两个正整数的平方和．
、正整数数列满足：，
．
计算 ．
、求所有正整数数列，使得
其中．
、各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
（1）当时，求通项
（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数对于每个正整数，都有
、数列满足：，（其中表示的整数部分，），试求的值.
、正整数数列满足：；
、求；
、求最小的正整数，使．
、数列为：，其构作方法是：首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是得；接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数，于是得；
接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数，于是得前项为 如此继续．
试求以及数列前项的和
、试求满足下列条件的三元数组：
、为质数；、组成等比数列．
、下面是一个由一组数圈所构成的序列：
其构作方法是，第一个圈上填有数，第二个圈上填有数和，在第个圈上，将每一对相邻位置的数之和插入到这两数之间的弧段上，便得到第个圈．
试确定，在第个圈上，总共填写有多少个数 ？
、数列：，；
证明：，皆可表为两个正整数的平方和．
、如果既约分数满足：为正整数，则称为“牛分数”；现将所有“牛分数”按递增顺序排成一个数列，称为“牛数列”；
证明：对于牛数列中的任两个相邻项，都满足：．
、数列{},{}满足:，，,其中为正整数,,且．
证明:必可表为两个正整数的平方和.
、给定一个项的实数列，然后选定一个实数，将数列变换为：
；这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以各不相同；
（ⅰ）、证明：可以经过有限次这样的变换，使得数列的各项全变为；
（ⅱ）、为了确保对于任何给定的初始数列，以上结果都能实现，问最少需要作多少次这样的变换？

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