曹冲称象与七桥问题.doc

曹冲称象与七桥问题
　　传说，在公元前287年，叙拉古王国的国王打了胜仗，为了庆祝胜利，他决定献给神一顶金子做的王冠．他找来一位珠宝商，给了他一些金子让他制造一顶王冠。王冠制作得很漂亮，重量也跟原来国王给的黄金一样重。但是国王还是怀疑珠宝商盗窃了一部分黄金，而在王冠中掺进了同等重量的白银。他请阿基米德鉴定王冠是不是纯金的，但不许拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天，都不得要领。一天，他跨入盛满水的浴缸洗澡，看到水向外溢，顿时豁然开朗，兴奋地喊：“我找到检验王冠的方法了”。
　　阿基米德由此发现了浮力定理，从而解决了王冠的检验问题。
　　在我国古代，也流传一个利用浮力原理的“曹冲称象”的故事。曹操的儿子曹冲小时候非常聪明。一天，有人送给曹操一只大象，曹操很高兴，想知道这个庞然大物究竟有多重。但是到哪里去找这样大的秤呢？魏国的谋臣武士们绞尽脑汁，也想不出一个办法。小小的曹冲却想出了一个妙法：他教人把大象牵到一只大木船上，刻下木船的吃水深度；然后把大象牵下船而向船上装进一些石块，让木船吃水深度与原来的刻度一致时即停止继续装石块。根据浮力原理，大象的重量和船上石块的重量相等，而分散的石块是可以用普通的秤称出其重量的。“曹冲称象”成为千古美谈。
　　“曹冲称象”的思想不仅仅是利用了物理学中的浮力原理，也利用了数学中一个极为普遍的思想：转化思想。即把有待解决的问题，通过适当的方法，转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。
　　从某种意义上讲，数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化，转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想。可以毫不夸张地说。转化能力的高低是衡量一个人数学水平的重要标志之一。
　　匈牙利数学家罗莎曾经对此作过一个有趣的比喻：
　　假如在你面前有煤气灶、水壶、水笼头和火柴，现在要烧一壶开水，你应该怎样做？
　　回答很简单，谁都知道应该怎样做。在水壶中加满水；点燃煤气；把水壶放到煤气灶上。
　　接着罗莎再提出问题：现在所有的条件都和原来一样，只是水壶中已灌满了水，这时你又应该怎样做？对于这一问题人们通常的回答往往是：那就只要点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上就可以了。但罗莎指出，这不是最好的回答，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，因为他已经把后一问题转化为前一个问题了，而前一问题是已经解决了的。
　　罗莎的比喻也许过于夸张，但它的确表明了数学思想方法的一个特点，善于使用转化的方法。

　　在18世纪，东普鲁士哥尼斯堡（今属立陶宛共和国）内有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地。河上架有七座桥，把四块陆地像图1那样联系起来。当时许多市民都在思索如下的问题：一个散步者能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。
　　这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
　　这个问题似乎不难解决，所以吸引了许多人都想来试试看，但是日复一日谁也没有得出确定的答案。于是有人便写信给当时著名的数学家欧拉（Euler，1707 ～1783）求教。欧拉毕竟是数学家，他并没有去重复人们已多次失败了的试验，而是首先产生了一种直觉的猜想：许多人千百次的失败，也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象．用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点间的一条线表示联接两块陆地之间的一座桥，就得到如图2那样一个由四个点和七条线组成的图形。

　　于是，七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画”的问题。什么叫“一笔画”呢？那就是笔不准离开纸，一气画成整个图形，但每一条线只许画一次，不得重复。像图2这样的图形能不能一笔画呢？1736年欧拉证明了：答案是否定的。
　　为什么呢？
　　因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有了一个判别准则：
　　一个可以一笔画的图形最多只能有两个点（起点和终点）与奇数条线相连。
　　再看图2中的四个点都是与奇数条（三条或五条）线相连的，根据这一判别准则，是不能一笔画的。
　　从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。
　　曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这一转化，就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而圆满地解决了。