圆锥曲线的三类最值.doc

圆锥曲线中的三类最值问题

在选修1-1圆锥曲线中求有关距离最值问题主要有一下三个类型：

一、圆锥曲线上一动点到一定点与到一焦点的距离和求最值
方法：利用圆锥曲线的定义转化求最值法.根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.
例1：已知点F1 、F2是椭圆+=1的左右焦点，定点A（1，1），P是椭圆上动点，则|PA|+|PF2|
的最小值、最大值分别为

分析：根据椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a-|PF1|,∴|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a，这样求|PA|+|PF2|最值问题就转化为求|PA|-|PF1|的最值问题.画出图知道当点P、A、F1三点共线时取得最值.|PA|-|PF1|的最小值为-|AF1|，最大值为|AF1|，∴|PA|+|PF2|的最小值 为2a-|AF1|、最大值为2a+|AF1|.
解：由椭圆定义知：|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a而-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|，又由椭圆方程+=1，∴a=,c=3,∴F1(-3,0),∴|AF1|=,∴―≤|PA|+|PF2|≤+
【点评】此类问题一般先利用圆锥曲线的定义转化，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边易知在共线处取得最值.

请同学们动手做做一下几个题：
1、已知点F1 F2是双曲线―=1的左右焦点，定点A（3，2），P是双曲线上动点，则|PA|+|PF2|

的最小值为 .
（提示：由题意可知点P在双曲线右支，根据定义可知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=|PF1|-2a,∴|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a,∴求|PA|+|PF2|最小值转化为求|PA|+|PF1|的最小值。∵ 两点之间线段最短，∴|PA|+|PF1|的最小值为|AF1|,∴|PA|+|PF2|最小值为|AF1|-2a.

）
2、已知P点为抛物线y2=4x上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点F的距离之和的最小值为 _ __.
（提示：过P点作准线x=-1的垂线，垂足为K,根据抛物线定义可知|PF|=|PK|,∴|PF|+|PQ|=|PK|+|PQ|,易知当P、K、Q三点共线时距离最小，即最小值为点Q到准线的距离.）

二、曲线上一动点到一定点距离求最值
方法：转化成二次函数求最值。即把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.在此处主要转化为二次函数求最值.
例2：已知椭圆+ =1内一点A（0，），点M为椭圆上一动点，求|AM|最大值.
分析：设出点M坐标，由椭圆方程及|AM|2消去x或y，将|AM|2转化为二次函数后求最值.
解：设点M（x,y）,∴＋ =1,∴x2=3―,∴ |AM|2=(y―)2＋x2=(y―)2＋3―=-y2―2y＋5 =-(y＋2)2＋9 (-≤y＜),∴当y=-时，|AM|2取得最大值8，|AM|取得最大值2.
【点评】此类问题转化成关于x或y的二次函数后，需注意变量x或y的取值范围.
同理，同学们动手做做下题：
1、已知一定点A(3,0),P是双曲线-y2 =1上任意一点，求|PA|最小值.
2、:若点P在抛物线y2 =x上，点Q在圆(x-3)2 +y2 =1上 ，求|PQ|最小值.
(提示：求两动点距离问题可转化为先求抛物线上一动点P到一定点圆心A（3,0）距离的最小值问题，再将|PA|的最小值减去圆的半径即为|PQ|最小值.)

三、曲线上一动点到一定直线距离求最值
方法：常用切线法.当所求的最值是圆锥曲线上点到某条定直线距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值时的点.
例3、求椭圆 x2 +8y2 =8上的点到直线x-y+4=0的距离的最大值和最小值.
分析：先求与直线x-y+4=0平行的椭圆的切线，切线与直线x-y+4=0的距离即为为最值.
解：设与x-y+4=0平行的椭圆切线方程为y=x+b

【点评】此题还可转化为三角函数求最值，但切线法更直观明了.
同理，同学们动手做做下题:已知动点P在抛物线 y2 =2x上，求点P到直线 x-y+3=0的最短距离，并求出此时P点的坐标..