分类讨论思想的解题.doc

运用分类讨论思想解题的策略

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法.考试要求：《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
题型一 由概念引起的分类讨论
例1.平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点．
求证：“如果直线过点，那么”是真命题.
点拨：（1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，可求得；（2）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在.
证明：设过点的直线交抛物线于点.
（1）当直线的钭率不存在时, 直线的方程为,此时,直线与抛物线相交于. ∴.
（2）当直线的斜率存在时,设过点的直线的方程为，
由得
又 ∵， ∴，
综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；

变式与引申1：已知集合，若时，则实数的取值范围是____________.

题型二 由参数引起的分类讨论
例2.（2011全国课标卷理科第21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
点拨：（1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求导函数，再利用和求出的值；（2）由于该题存在参数，因此应对参数进行分类讨论.
解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，.而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，，可得,与题设矛盾.
（iii）设.此时,而h（1）=0，故当x（1，+）时，，可得,与题设矛盾.
综合得，k的取值范围为（-，0]

变式与引申2：（1）解关于的不等式：.
（2）设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？
题型三 由自变量引起的分类讨论
例3.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
点拨：该题是恒成立问题，其实就是求最值问题，由于，的符号不确定，因此在参变量分离时应对范围进行分类讨论.
解：令，则
（1）当时，，则， 而此时，∴；
（2）当时，，则， 而此时，∴；
（3）当时，原不等式化为恒成立.
综上所述，的取值范围是.
变式与引申3：（1）设,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
（2）已知是不为零的实数，,则 .
题型四 由运算引起的分类讨论
例4.已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若求a的取值范围.
点拨:第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程.
(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.
解：（I）.
由得曲线在x=0处的切线方程为

由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）.
（II）由得
（i）当时，没有极小值；
(ii)当或时，由得

故。由题设知，
当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是.
变式与引申4：（1）若，求数列的前项和.
（2）已知等差数列的前项和.求数列的前项和.
点评：（1)高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.（2）分类讨论的原则有：同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏”；互斥性原则强调的是“避免重复”； 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆.（3）分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零，各个击破”.