专题十一函数及其图像.docx

专题十一 函数及其图象

1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A B 且 C 且 D
2.如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）。
（A） （B）
（C） （D）

3.方程组的解的个数为( )．
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4
二、填空题(每小题 3 分，满分 21 分)
4.已知关于X的方程 = － 3的根大于零，则a的取值范围是
5.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是
6.关于x的方程ax2－(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为
7.多项式x2＋px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的值可以是
三、解答题
8．(本题5分)如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两
点，B点坐标为(1，1)。
(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标。

9．如图，抛物线与轴交于、两点（点 在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠为直角,且恰使△∽△。
(1)求线段的长。
(2)求该抛物线的函数关系式。
(3)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。

10．(本题5分)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0．1x2+2．6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 　
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
(4)结合本题针对自己的学习情况有何感受？

11．(本题6分)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

12 (本题6分)某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

13.解方程=x.

14.(本题7分)求方程　x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

15.(本题7分)已知首项系数不相等的两个方程：　
（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)
有一个公共根.　求a,　b的值.

16．(本题8分)已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．

参考答案
一、1. C 2.B
3. 若≥0，则于是，显然不可能．
若，则
于是，解得，进而求得．
所以，原方程组的解为只有1个解．故选(A)．
[点评]解决多元方程、多变量问题的基本方法是消元.本题为消元，果断地对的符号展开讨论，去掉中的绝对值符号.
二. 4. a<6且a≠－2
5.答案：a＜－1且a≠－2 (要考虑分母不能为0） 6. 答案：a=0或a=2．
7.5和－5，或7和－7
三
8、（1）设直线表达式为y=ax+b.
∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的图象上,
∴∴
∴直线AB的表达式y=－x+2.
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上,
∴a=1，其表达式为y=x2.
（2）存在。点C坐标为（－2，4），设D（x，x2）.
∴S△OAD=|OA|·|yD|=×2·x2=x2.
∴S△BOC=S△AOC－S△OAB=×2×4－×2×1=3.
∵S△BOC=S△OAD,∴x2=3,
即x=±.
∴D点坐标为（－，3）或（，3）.
9解：（1）由ax2-8ax+12a=0（a＜0）
得x1=2，x2=6．A、B两点坐标分别为：（2，0），（6，0）．
（2）由（1）知OA=2，OB=6．
又∵△OCA∽△OBC，∴OC2=OA•OB=2×6．
∴OC=2∴AC:BC=OA:OC=1：
设AC=k，则BC=k
由AC2+BC2=AB2得k2+（ k）2=(6-2)2解得k=2（-2舍去）
∵OA=AC=2，
∴AC=2，BC=2=OC
过点C作CD⊥AB于点D, ∴OD=OB=3
∴CD=∴C的坐标为（3，）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得
∴抛物线的函数关系式为：
（3）①当P1与O重合时，△BCP1为等腰三角形
∴P1的坐标为（0，0）；
②当P2B=BC时（P2在B点的左侧），△BCP2为等腰三角形
∴P2的坐标为（6-2,0）
③当P3为AB的中点时，P3B=P3C，△BCP3为等腰三角形
∴P3的坐标为（4，0）；
④当BP4=BC时（P4在B点的右侧），△BCP4为等腰三角形
∴P4的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为： （0，0）；（6-2,0）；（4，0）；（6+2，0）；
10、（1）；（2）；（3）4个点：

11、（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为
:（55–40）×450=6750（元）．
　　（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是:（x–40）元，所以月销售利润为：
y=（x–40）[500–（x–50）×10]=（x–40）（1000–10x）
=–10x2+1400x–40000（元），
　　∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
　　（3）要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
　　即：x2–140x+4800=0，
　　解得：x1=60，x2=80．
　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为： 40×400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为： 40×200=8000（元）；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。

12. 因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为x元，则（x－300）×0.8＋300×0.9＝282.8解得，x＝316
情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元
则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）
情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；
则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）
所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．
13.解一：

∵x≥1 ∴
解得 ， 检验（略）

解二：设=y, 那么y2=2x+2.
原方程化为：　y－y2=0 .
解得 y=0；或y=2.
当y=0时，　=0 (无解)
当y=2时，　=2，
解得，x=.　　检验（略）.
14.解：x2-4x+4+y2+10y+25=13 (添项)
（x－2）2+(y+5)2＝13　　　　（配方）
∵13折成两个整数的平方和，只能是；4和9.
∴（x－2）2=4 (y+5)2=9 或（x－2）2= 9 (y+5)2=4
∴ x－2=±2 y+5=±3或 x－2=±3 y+5=±2
∴共有8个解 （略）

15.解：用因式分解法求得：
方程①的两个根是　a和；　　方程②两根是b和.
由已知a>1,　b>1且a≠b.∴公共根是a= 　或b=.
两个等式去分母后的结果是一样的.
即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3.
∵a,b都是正整数，　∴　；　或.
解得；　　或.

又解：　设公共根为x0那么
　　先消去二次项：
①×（b－1）－②×（a－1）　得
［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0.
　　　　整理得　（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.
∵a≠b　
∴x0＝1；　或　(ab－a－b－2)＝0.
当x0＝1时，由方程①得　a=1,　
∴a－1=0，
∴方程①不是二次方程.　　
∴x0不是公共根.
　　当(ab－a－b－2)＝0时，　得(a－1)(b－1)=3　……解法同上.
16．解：（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程=0是一元二次方程，
△=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=（k-3）2．
∵（k-3）2≥0，即△≥0，
∴ k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根
综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．
（2），x1=-1，x2=．
∵ 方程的两个根是整数根，且k为正整数，
∴ 当k=1时，方程的两根为-1，0；
当k=3时，方程的两根为-1，-1．∴ k=1，3．

（3）∵ 抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴两个交点之间的距离为3，∴=3，或=3．
当=3时，=-3；当=3时，k=0．综上，k=0，-3．

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