九年级复习函数及其图像.docx

函数及其图象
1、平面直角坐标系
　　①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
　　②点P(a, b)到x轴的距离为|b|，到y轴距离为|a|，到原点距离为
　　③各象限内点的坐标的符号特征P(a, b)，P在第一象限a>0且b>0，P在第二象限a<0, b>0，P在第三象限a<0, b<0，P在第四象限a>0, b<0；
　　④点P(a, b)：若点P在x轴上a为任意实数，b=0；P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一、三象限坐标轴夹角平分线上a=b，P在二、四象限坐标轴夹角平分线上a=－b；
2、变量与函数
　　（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并不一定都是量，也可以是常数或变数．
　　（2）在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内的取每一个确定的值，y都有惟一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．
　　（3）自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．
　　（4）对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有惟一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是惟一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．
　　（5）函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法．这三种表示法各具特色，在应用时，通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图像的一般步骤为：列表、描点、连线．
3、正比例函数的定义及图像
　　一般地，形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
　　正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点(0,0)和点(1,k)的直线，我们称它为直线y=kx；当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，y随着x的增大而增大，当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，y随着x的增大而减少．
4、一次函数的定义及图像与性质
　　（1）如果y=kx＋b(k、b为常数,且k≠0)，那么y叫做x的一次函数，一次函数的标准形式为y=kx＋b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数，当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．
　　（2）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，通常也称直线y=kx＋b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点(0,b)，就行了．
　　（3）直线y=kx＋b(k≠0)中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k＞0时，y随x的增大而增大，此时若b＞0，则直线y=kx＋b经过第一、二、三象限；若b＜0，则直线y=kx＋b经过第一、三、四象限.当k＜0时，y随x的增大而减小，此时当b＞0时，直线y=kx＋b经过第一、二、四象限；当b＜0时，直线y=kx＋b经过第二、三、四象限．
5、一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积
　　一次函数y=kx＋b沿着y轴向上(“＋”)、下(“－”)平移m(m＞0)个单位得到一次函数y=kx＋b±m；一次函数y=kx＋b沿着x轴向左(“＋”)、右(“－”)平移n(n＞0)个单位得到一次函数y=k(x±n)＋b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx＋b与x轴交点为，与y轴交点为(0,b)，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为．
6、反比例函数的定义、图象及性质
　　（1）反比例函数定义：形如(k≠0)叫做反比例函数，自变量的取值范围是x≠0.
　　（2）反比例函数的图象是双曲线.
　　（3）反比例函数的性质：
　　①k>0时，图象两分支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；
　　②当k<0时，图象两分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
　　（4）反比例函数图象的几何性质
　　①对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.
　　②过反比例函数的图象上任意一点P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，
则S矩形PAOB=|k|.

7、二次函数的定义、图象及性质
　　（1）二次函数的定义
　　如果y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．
　　（2）二次函数的图象的性质
　　①抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是．
　　②当a＞0时，抛物线开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下．
　　③当a＞0，时，y有最小值，当a＜0，时，y有最大值．
　　（3）二次函数的解析式有下列三种形式：
　　①一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)
　　②顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)
　　③交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)．这里x1，x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
　　确定二次函数的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

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