一次函数及其图像知识点总结.docx

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第一部分：变量与函数
1、 函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。
2、 函数的三种表示方法：
3、 学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特征及性质：
（1） 定义域（即自变量的取值范围或者说的取值范围）
（2） 值域 （即因变量的取值范围或者说的取值范围）
（3） 图像与轴和轴的交点坐标及其意义（与轴的交点，表示当；与轴的交点表示当）
（4） 极值点：包括最大值及最小值
（5） 单调性：

文字语言
数学语言
图像表现
单调递增
随的增大而增大

爬
坡
型

单调递减
随的增大而减小

下
坡
型

不等号的开口方向相同时，单调递增；不等号的开口方向相反时，单调递减
（6）、对称性研究：包括点关于轴、轴和原点的对称；以及图像的关于关于轴、轴和原点的对称。
（7）、位置关系：主要包括直线的平行与垂直。特别是平行，以及平移的研究：包括点的上、下、左、右平移及及直线的上、下、左、右平移。
（8）、函数与方程、不等式之间的关系。
第二部分：函数的图像
1、 直角坐标系组成；以及各象限上点的特征。

2、 点的表示（横坐标，纵坐标）
注意：①不要丢了括号和中间的逗号；
②表示的意思：当时，如点A（2，1） 表示：当时，
③同时要注意轴上点的特征：即纵坐标等于0;轴上点的特征：即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
3、 点到轴的距离为________；到轴的距离为_______
在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积：

4、 点的对称性研究：（如果忘记了，可以自己作一个直角坐标系研究一下）
关于轴对称_________；关于轴对称__________；关于原点对称___________
思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90°之后的坐标。
5、 点的平移：向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）
6、 两点之间的距离
①在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离

概括：A、B两点之间的距离为：或
②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。

A、B两点之间的距离：
A、 B两点的中点坐标为：
7、 1）、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面
①确定的取值范围，特别要小心有些情况下并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。
②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。
③判断函数图像是直线、曲线、还是双曲线（可以通过的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）
④最后从函数与轴（未必一定会有）、轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如关于轴、轴、原点对称或者关于某一条直线对称等）；分段性；从而画出比较准确的草图。

2）、作图的一般步骤：列表、描点，连接
注意：在列表的过程中，我们应该去体会方程的解与函数图像上的点之间的关系；同时要学会如何判断一个点是否会在该函数图像上。
列表：并绘制出下列两个函数的图像。

当
-3
-2
-1
0
1
2
3

12
5
0
-3
-4
-3
0

--8
-6
-4
-2
0
2
4
描出图像上的点，我们挑出其中一个点（-2，-6）显然这个点在其函数图像上，同时这个点所表示的意义：当时，时方程（或）这个二元一次方程的一组解。

3）、如何判断一个点是否在该函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的的值是不是方程的解。
如：判断点是否在函数图像上，即相当于是不是方程的解。或者说：当，是否会等于6。
4）、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标
如：的图像上 已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4；求点A、B的坐标。
解析：A点相当于问你，当 时，；B点相当于问你：时，。
第三部分：一次函数与反比例函数
1、 一次函数： 正比例函数：
反比例函数（共三种表示方式）：
其中更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。
提醒：关于中等于多少该如何判断得引起大家的重视；如中的是多少呢？
2、 一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与轴和轴的两个交点。
如：作函数的图像 当时， 即为一次函数与轴的交点坐标。
当时，即为一次函数与轴的交点坐标。

3、 会判断点是否在直线上，正比例函数上和反比例函数上；并且已知横坐标要懂得求纵坐标，反之，已知纵坐标要懂得求横坐标。
4、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。而且正比例函数一定经过原点

正比例函数
反比例函数：
经过象限
单调性
草图
经过象限
单调性
草图

一、三
单调递增

一、三
单调递减

二、四
单调递减

二、四
单调递增

越大，直线越陡
越大，双曲线离轴越远
5、一次函数的四种草图，其中越大，直线越陡；

6、直线的平移（大家自己整理出更一般的结论）
如：向上平移5个单位____________；向下平移2个单位_____________
备注：上下平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。
向左平移1个单位______________；向右平移2个单位_________________
备注：左右平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。
7、 直线之间的位置关系
已知直线：
①平行的充要条件：且
②重合的充要条件：且
③垂直的充要条件：
8、 直线位置关系与方程组的解之间的关系
①、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。
方程组的解为。而交点坐标为。

方程组无解，如图所示：图像没有交点。
②、通过方程无解来说明直线平行的方法：
方程组无解，则，
当且时方程无解，所以我们可以得到当且时直线平行。
9、 解析式的求解
①、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数（直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下：
②、一次函数：需要两个条件（或者两个点坐标）来列方程组，求的值。
而正比例函数： 反比例函数：反比例函数：都只需要一个条件（或者一个点坐标）去求解的值。
③例课本46习题第5题。
④、写出满足下列条件的一个函数关系式：
(1) 图像过点(1，1)、(3，2)的一次函数；
(2) 图像过点的正比例函数；
(3) 图像过点的反比例函数；
10、正比例函数与反比例函数有交点的条件(如上图所示)：
反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即：、同号；或者说：
并且两个交点关于原点对称。
11、 反比例有关的面积问题（图7三角形AOB的面积有多种方法）

12、 函数与方程、不等式之间的关系
指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。
例1：画出函数的图像，根据图像，指出：
（1）取什么值时，函数值等于0
（2）取什么值时，函数值大于0
例2、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
(3)求方程的解（请直接写出答案）；
(4) 求不等式的解集（请直接写出答案）；
例3、如图，直线与反比例函数（x<0）的图像交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的纵坐标为2。
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出来）
（3） 求△AOC的面积。
13、函数中设点的一般方法
（1） 直接设
（2）当该点在某上解析式对应的图像上时：如我们就可以假设该直线上某点的坐标为，当然也可以是其他字母，关键点在于把纵坐标也用横坐标表示出来。再比如：上的某个点可设为
例、如图所示：直线与、轴轴分别交于点、，其中点E的坐标为点A的坐标。点P 为直线上的一动点。
（1）、求的值
（2）、若点是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积与轴的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（2） 、探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。

14、点旋转90度与两条直线垂直的探讨
1） 点顺时针旋转90°后的坐标_________（如图利用全等可求得的坐标）
2） 直线与直线互相垂直，那么之间的关系？
得用1）中的结论求得的坐标，而且点在直线上，即：

15、一次函数与三角
设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组：
则可以得到：