一元二次方程根与系数的关系.docx

一元二次方程根与系数的关系
教材分析
1.一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
教学过程
教学环节
教师活
教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

问题引探

问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？
出示卡片
问题3.解下列方程：
（1）2x2+5x+3=0   （2）3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表

x1

x2

x1+x2

x1x2

x2-5x+6=0

2x2+5x+3=0

3x2-2x-8=0

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2= 。则 x1+x2=+ = ；x1x2=·=.

1.有的学生很快就利用最简便的方法——十字相乘法求出了 x2-5x+6=0的两个根，也可以利用公式法解出此方程和“问题3”中的两个方程的根并在表中写出两个的和与积；2.学生写出了方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，并再进一步计算，求出用系数表示的两根之和与两根之积。3.由此得出一元二次方程的根与系数的关系，教师进一步引导，让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

探
索
发
现

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结） ①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

1.学生交流探讨

“问题6”设计的目的是继续深入研究当一元二次方程的各系数为何值时，一元二次方程的根又存在哪些特殊的情况。
尝试发展

1.（试一试）根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x+1=0      
x1+x2= _____  ； x1x2= ______
（2）5x2+x-2=0  
x1+x2= _______； x1x2= _______
（3）5x2+kx-6=0      
x1+x2=_______；  x1x2= _______

2.（尝试题）已知方程6x2+kx-5=0的一个根为-1，求它的另一个根及k的值。
3.（尝试题）不求出根，利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的：（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
1.学生自己分析解决第2题，接受新知识能力强的同学就会发现这个时候就得到了一个关于另一个根和k的二元一次方程组。然后一学生板演，其余学生在草稿本上练习。
2.教师提示在第3题第（1）问中利用配方法，学生根据提示得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（2）小题是培养学生思维严谨性和批判性；（3）小题是起过渡作用设计。
2、第2题和第3题都是尝试题，可以让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。

拓展创新

1、以上第2题中能否求（x1－x2）的值？
2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b与ab的值？

教师提示第1题：
( x1-x2)2=x12+ x22-2 x1x
学生根据上述关系式算出结果后，再两边同时开平方。

“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。

师生共同归纳   小结

教师提问：本课主要研究了什么？

在教师提示下，学生回答：
1、方程的根是由系数决定的；
2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
4、b2-4ac的值可判定根的情况。
5、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。

本设计的目的是帮助学生回忆本节所学的内容，加深对本节内容的理解，初步掌握方程理论的应用。

布置作业

P43第7题（1）、（3）小题；
补充：1、已知关于x的方程x2－2mx+ m2=0.其中x1、x2分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.
（1）求证这个方程有两个不相等实数根.
（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个等腰三角形的边长。
3、已知关于x的方程x2－3x-8=0的两根分别是x1、x2，求：
（1）x1 - x2的值；（2）x12 + x2 2的值 

通过作业，让学生巩固所学的内容，掌握一元二次方程关于两根的变式。 
板书设计

一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。  
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。