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22.2.4一元二次方程根与系数的关系2021/10/1011.一元二次方程的解法2.求根公式复习提问复习提问数学活动一2021/10/102一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：X=(b2-4ac 0)2021/10/1031.1.填表，观察、猜想填表，观察、猜想 数学活动二 方程 x1,x2 x1,+x2 x1.x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x+4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。2021/10/104根与系数关系根与系数关系 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是,则则:如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢?2021/10/105数学活动三 方 程x1,x2 x1,+x2 x1.x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律；ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律：2021/10/106一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2 ,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac02021/10/107韦达（韦达（15401603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。2021/10/108一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+=-X1x2=2021/10/1091、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2 =4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-2021/10/1010例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 ,x2 。求：(1)(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-3(1)=(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)2-2(-3)62021/10/1011变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2）（1）（）（x1-x2）22021/10/1012例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。2021/10/1013例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。2021/10/10141、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16 解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1 x2=(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=2021/10/10151、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2021/10/10162、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=02021/10/1017归纳小结：归纳小结：通过本节课的学习你学到了那些知识？通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程根与系数的关系（韦达定理韦达定理）：）：两根的和等于一次项系数与二次两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。常数项于二次项系数的比。2021/10/1018作业：作业：v课本P43 习题22.2 第7题。2021/10/10192021/10/1020