因动点产生的面积问题.doc

1.6 因动点产生的面积问题
例1 2013年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．
请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．
思路点拨
1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．
2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．
3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．
4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝，点B的横坐标为－2c．
（2）由，设E．
过点E作EH⊥x轴于H．
由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．
所以．因此．所以．
当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．
整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．
所以抛物线的解析式为．

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．
直线BC的解析式为．
设，那么，．
所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．
因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．
当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．

例 2 2012年菏泽市中考第21题

如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

思路点拨
1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是
△A′B′O面积的3倍．
2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．
3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．
因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．
（2）S△A′B′O＝1．
如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．
如图2，作PD⊥OB，垂足为D．
设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．
．
．
所以．
解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以点P的坐标为(1，2)．

图2 图3 图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
考点伸展
第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
．
．
所以．
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．

例 3 2012年河南省中考第23题

如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．

思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．
（2）由，，
得．
所以．
所以PD的最大值为．
（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；
当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．

图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而，
BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．

例 4 2011年南通市中考第28题

如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．

思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．

满分解答
（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．
（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．

图2 图3 图4

（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．
当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．
①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．

图5 图6

例5 2010年广州市中考第25题

如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．

思路点拨
1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．
2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．
3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．
4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答
(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时
S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD
＝
．
(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．
作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．
设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2 图3 图4

考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．

图5 图6 图7

例 6 2010年扬州市中考第28题

如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。

思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．

满分解答
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2) ①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．
如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．
②当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
因此，当时，y的最大值为．

图2 图3 图4

(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．

例7 2009年兰州市中考第29题

如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．
思路点拨
1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．
2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．
3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．
4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．

满分解答
（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．
设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．
因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．
（4）当或时, OP与PQ相等．

图3 图4
考点伸展
附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．
②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．
③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．

图5 图6
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