相似三角形辅优试卷.doc

相似形辅优试卷　
一．选择题（10×4＝40´）
1． 已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A．2a=5b B．= C．a+b=7 D．=
　2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
　3．若===k，则k的值是（　　）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．
　4．若==，且3a﹣2b+c=3，则2a+4b﹣3c的值是（　　）
A．14 B．42 C．7 D．
　5．如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（　　）
A． B． C． D．
　6．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（　　）

A．144° B．135° C．136° D．108°

7．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对

8．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）

A． B． C． D．

9如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（　　）
A．9 B．15 C．12 D．6

10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=

二．填空题（10×4＝40´）
11．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　　　　　　．

12．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　　　　　　．

13．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1）（即P1B2=AP1•AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2015的长度是　　　　　　．

14．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当==时，有==（如图1） （2）当==时，有==（如图2）；（3）当==时，有==（如图3）；

在图4中，当=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论　　　　　　．

15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M，N在边OB上，PM=PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN=3，则的值为　　　　　　．

16．如图，菱形，矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是，|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　　　　　　；
②当菱形的“接近度”等于　　　　　　时，菱形是正方形．

17．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=　　　　　　．

18．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为　　　　　　．

19．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为
（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为　　　　　　．

20．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是　　　　　　．

三．解答题（10×2≡20´）
21．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）=．

22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

2015年10月22日1105107430的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A．2a=5b B．= C．a+b=7 D．=
考点：
比例的性质．菁优网版权所有
分析：
根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断D．
解答：
解：A、由比例的性质，得
A、2a=5b，故A正确；
B、2a=5b，得=，故B正确；
C、a+b有无数个值，故C错误；
D、由合比性质，得=，故D正确；
故选：C．
点评：
本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，合比性质．

2．（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
考点：
比例的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
解答：
解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
点评：
本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．

3．（2014•甘肃模拟）若===k，则k的值是（　　）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．
考点：
比例的性质．菁优网版权所有
分析：
分两种情况讨论．①a+b+c≠0，利用比例的等比性质得出；②a+b+c=0，利用分式的性质得出．
解答：
解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质得到：===k；
当a+b+c=0时，b+c=﹣a，k==﹣1．
因而k的值是或﹣1．
故选C．
点评：
本题考查了等比性质：若==…=（b+d+…+n≠0），则=．同时注意分类思想的运用．

4．（2013秋•遂宁期末）若==，且3a﹣2b+c=3，则2a+4b﹣3c的值是（　　）
A．14 B．42 C．7 D．
考点：
比例的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可．
解答：
解：设a=5k，则b=7k，c=8k，
又3a﹣2b+c=3，则15k﹣14k+8k=3，
得k=，
即a=，b=，c=，
所以2a+4b﹣3c=．故选D．
点评：
根据已知条件得到关于未知数的方程，从而求得各个字母，再进一步计算代数式的值．

5．（2015•合肥校级四模）如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（　　）
A． B． C． D．
考点：
比例线段．菁优网版权所有
分析：
比例中项，也叫“等比中项”，即如果a、b、c三个量成连比例，即a：b=b：c，则b叫做a和c的比例中项．据此代数计算得解．
解答：
解：根据题意，可知
a：b=b：c，
b2=ac，
当a=3，b=2时
22=3c，
3c=4，
c=．
故选：C．
点评：
考查了比例线段，解决此题关键是理解比例中项的意义，进而根据比例的性质代数计算得解．

6．（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（　　）

A．144° B．135° C．136° D．108°
考点：
黄金分割．菁优网版权所有
分析：
由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．
解答：
解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y=0.6=3：5，
又∵x+y=360，
则x=360×=135．
故选B．
点评：
此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式．

7．（2014秋•章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
考点：
黄金分割．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分类讨论：当AC＞BC，根据黄金分割的定义得到AC=AB=；当AC＜BC，则BC=AB=，然后利用AC=AB﹣BC进行计算．
解答：
解：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，
当AC＞BC，
∴AC=AB=；
当AC＜BC，
∴BC=AB=，
∴AC=AB﹣BC=1﹣=．
故选C．
点评：
本题考查了黄金分割：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，当较长线段是较短线段和整个线段的比例中项时，就说这个点把整个线段黄金分割，这个点就叫这条线段的黄金分割点，其中较长线段是整个线段的（约为0.618）倍．

8．（2015•道里区二模）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）

A． B． C． D．
考点：
平行线分线段成比例．菁优网版权所有
分析：
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
解答：
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF；
∵DE∥BC，
∴==，
==，
∵EF∥AB，
∴=，=，
∴，
故选C．
点评：
此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案．

9．（2015•香坊区三模）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（　　）

A．9 B．15 C．12 D．6
考点：
平行线分线段成比例．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据平行线分线段成比例定理得到=，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1得=，则=，然后把AG=15代入计算即可．
解答：
解：∵DE∥FG∥BC，
∴=，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴=，
∴=，
∴EC=9．
故选A．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

10．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
考点：
相似三角形的判定．菁优网版权所有
分析：
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解答：
解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
点评：
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．

二．填空题（共10小题）
11．（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　3　．

考点：
比例的性质．菁优网版权所有
分析：
根据等比性质，可得答案．
解答：
解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
点评：
本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．

12．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　　．

考点：
比例的性质．菁优网版权所有
分析：
根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；
解答：
解∵a+b+c=10，
∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），
∴
=﹣+﹣+﹣
=﹣1+﹣1+﹣1
=++﹣3，
∵，
∴原式=×10﹣3=﹣3=．
故填：．
点评：
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．

13．（2015•孝南区三模）如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1）（即P1B2=AP1•AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2015的长度是　（）2015　．

考点：
黄金分割．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比进行解答即可．
解答：
解：根据黄金比的比值，BP1=，
则AP1=1﹣=，
AP2=（）2，
AP3=（）3，
…
依此类推，则线段AP2015的长度是（）2015
故答案为：（）2015．
点评：
本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

14．（2015•甘肃模拟）在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当==时，有==（如图1）；
（2）当==时，有==（如图2）；
（3）当==时，有==（如图3）；

在图4中，当=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论　（n为正整数）　．

考点：
平行线分线段成比例；三角形中位线定理．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到=，则EF=CF，再利用比例性质由=得到=，再由OE∥DF得到==，然后根据比例性质求解．
解答：
解：作DF∥BE交AC于F，如图4，
∵DF∥BE，
∴==1，
∴EF=CF，
∵=，
∴=，
∴==，
∵OE∥DF，
∴==，
∴=．
故答案为：（n为正整数）．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

15．（2015•宁波一模）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M，N在边OB上，PM=PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN=3，则的值为　　．

考点：
平行线分线段成比例．菁优网版权所有
分析：
过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ﹣MQ求出OM的长，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．
解答：
解：过P作PQ⊥MN，
∵PM=PN，
∴MQ=NQ=，
在Rt△OPQ中，OP=10，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴OQ=5，
则OM=OQ﹣QM=，
∵CD∥ON，
∴，
∴==，
故答案为；．

点评：
此题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

16．（2009•萧山区模拟）如图，菱形，矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是，|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　40　；
②当菱形的“接近度”等于　0　时，菱形是正方形．

考点：
相似图形．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
①若菱形的一个内角为70°，求该菱形的“接近度”，可以求出菱形的相邻的另一内角的度数，这两个数的差的绝对值就是接近度；
②当菱形的“接近度”|m﹣n|=0时，菱形是正方形．
解答：
解：①若菱形的一个内角为70°
∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°
∴“接近度”等于|110﹣70|=40；
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形．
点评：
本题是一个阅读理解问题，真正读懂题目，理解“接近度”的含义是解决本题的关键．

17．（2015•曲靖）若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=　15　．

考点：
相似三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据△ADE∽△ACB，得到=，代入已知数据计算即可．
解答：
解：∵△ADE∽△ACB，
∴=，又=，DE=10，
∴BC=15．
故答案为：15．
点评：
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．

18．（2015•盘锦）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为　　．

考点：
相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值．
解答：
解：∵∠A=∠A，
∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴=，
∵AB=5，AC=3，
∴=，
∴AD=．
故答案为．
点评：
本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值．

19．（2015•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为　（﹣3﹣，3）　．

考点：
相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△COA，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．
解答：
解：过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠CAO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴=，
设点B坐标为（x，y），
则=，
y=﹣3x﹣9，
∴BC==，
AC==，
∵∠B=30°，
∴==，
解得：x=﹣3﹣，
则y=3．
即点B的坐标为（﹣3﹣，3）．
故答案为：（﹣3﹣，3）．

点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解．

20．（2015•佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是　25　．

考点：
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．
解答：
解：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∵AB=BC，AC=10．
∴2AB2=200，
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10﹣x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴=，即=，
∴x=5，
∴EF=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
故答案为25．
点评：
主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．

三．解答题（共2小题）
21．（2015•滨州）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）=．

考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．
解答：
证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF=∠ACB=60°，
∴GF∥CE，
∴=．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

考点：
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
点评：
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．