北京市东城区2013-2014学年高二第一学期期末考试数学(文)试题.doc

东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设命题：，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，函数在，两点间的平均变化率是(　　)

A．1 B．－1 C．2 D．－2
5. 设点关于原点的对称点为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．若图中直线，，的斜率分别为，，，则 (　　)

A．<< B．<<
C．<< D．<<

7．已知为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8. “”是“直线相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知表示空间一条直线， ，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②∥；
③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．若圆关于直线和直线都对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在内单调递增，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
12. 抛物线的准线与双曲线 交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.
13．曲线在点处的切线的斜率为 .

14．若直线与直线互相垂直，则的值为 ．

15．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若△的周长为，则的值为 .

16．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个
全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ．

17．若直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，则的值为
．
18．已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相
同，且.给出如下三个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②； ③.
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共4小题,共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（本题满分8分）
如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直， 是的中点.
（I）求证：∥平面;
（II）求证：平面⊥平面．

20. （本题满分8分）
已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点的圆的切线方程.

21. （本题满分9分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（Ⅱ）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.

22．（本题满分9分）
已知曲线：．
（Ⅰ）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（Ⅱ）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率．

东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．
1．A 2． C 3．D 4．B 5．A 6．B
7．C 8．A 9．B 10．D 11．A 12．D
二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.
13. 14. 15. 16． 17．或 18． ①②
三、解答题：本大题共4个小题，共34分.
19．（本题满分8分）
解:（I）连接交于,连接．
在三角形中，，分别为和的中点，
所以∥． ………..………..………..2分
又平面，平面，
所以∥平面． ………..………..………..4分

（II）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，
平面平面=，，，
所以．
又，
所以． ………..………..………..6分
又因为，是的中点，
所以．
又，所以． ………..………..………..7分
由，
所以平面⊥平面． ………..………..………..8分

20．（本题满分8分）
解：（Ⅰ） 因为圆与轴交于两点,,所以圆心在直线 上．
由得即圆心的坐标为． ………..………..2分
半径,
所以圆的方程为. ………..………..4分
（Ⅱ）由坐标可知点在圆上，由，可知切线的斜率为． ………..………..6分
故过点的圆的切线方程为. ………..………..8分

21．（本题满分9分）
解：（Ⅰ） 当时，.
所以. ………..………..2分
依题意可得,，
即解得 …………………5分
（Ⅱ）当时，.
所以. …………………7分
令，解得，.
当变化时，变化情况如下表：

0

0

所以当时，；当时，.
不妨设. …………………8分
因为三点共线，所以.
即，解得.
故所求值为. …………………9分

22．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）若曲线：是焦点在轴上的椭圆，则有，

解得． -------------------3分
（Ⅱ）时，曲线的方程为，为椭圆，
由题意知，点的直线的斜率存在，所以设的方程为，
由消去得. ------------------5分
，当时，解得．
设两点的坐标分别为，
因为为直角，所以，即，
整理得． ① ------------------7分
又,② 将①代入②，消去得，
解得或（舍去），

将代入①，得，所以.
故所求的值为. -------------------9分

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