已知一点的应力状态MPa.doc

第一章
1-10． 已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少？
解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：
，，
因此：，；
Sx＝σx l＋τxy m＋τxz n=
Sy＝τxy l＋σy m＋τzy n =
Sz＝τxz l＋τyz m＋σz n=

1-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=100+50-10=140
=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302
=600
= =-192000

σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5
σm=140/3=46.7

σ8=σm =46.7

1-12设物体内的应力场为，，，，试求系数c1，c2，c3。
解：由应力平衡方程的：

即： （1）
（2）
有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，
因此，-6-3c2=0 （3）
3c1-c3=0 （4）
联立（2）、（3）和（4）式得：
即：c1=1，c2=－2，c3=3
1-13． 已知受力物体内一点应力张量为：求外法线方向余弦为l=m=，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
解：Sx＝σx l＋τxy m＋τxz n=
Sy＝τxy l＋σy m＋τzy n =
Sz＝τxz l＋τyz m＋σz n=
S=111.7
J1=20
J2=16025
J3=-806250
σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！
σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6
1-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为
a)MPa；b) MPa；c) MPa
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。
解：a）点的应力单元体如下图

2）
a) MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa，
主应力和主方向：
σ1=20 MPa，l=m=0；n=
σ2=-10 MPa，l=m= n=0
σ3=0 MPa，l=m=0；n=
主剪应力τ12=±15 MPa；τ23=±5 MPa；τ12=±10 MPa
最大剪应力τmax=15 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=12.47 MPa。
等效应力MPa
应力偏张量及球张量。
MPa； MPa；
b) 点的应力单元体如下图

MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，
主应力和主方向：
σ1=10 MPa，l=m= n=0
σ2=50 MPa，l= m= n=0；
σ3=-50 MPa，l= m= n=0。
主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ12=±30 MPa
最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=41.1 MPa。
等效应力MPa
应力偏张量及球张量。
MPa； MPa；
c) 点的应力单元体如下图

MPa该点的应力不变量：J1=-18 MPa，J 2=33 MPa，J 3=230 MPa，
主应力和主方向：
σ1=10 MPa，l=m= n=0
σ2=50 MPa，l= m= n=0；
σ3=-50 MPa，l= m= n=0。
主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ12=±30 MPa
最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=-6MPa；τ8=9.7 MPa。
等效应力=20.6MPa
应力偏张量及球张量。
；
1-19．平板在x方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点=常数，试问为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。

图1-23（题19）
解：等效应力：

令，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得：

等效应力最小值：

1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy，且将σy﹑τyz及σx、τxy所在平面标注在应力莫尔圆上。

图1-24（题20）
解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。

图1-25

35

第二章
2-9．设，其中a、b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？
解：对求y的2次偏导，即：
（1）
对求x的2次偏导，即：
（2）
对求x和y的偏导，即：
（3）
带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：
（4）

即：时上述应变场成立。
2-10试判断下列应变场是否存在？
（1），，，，，
（2），，，，
（1）解：对、和分别求x、y或z的2次偏导，对、和分别求x、y和z的2次偏导，则：
, ； （a）
, ； （b）
，； （c）
，； （d）
将（a）、（b）、（c）和（d）代入变形协调方程（e）：

（e）

则（e）第一式不等，即：
这说明应变场不存在。
（2）对、和分别求x、y或z的2次偏导，对和分别求x、y和z的2次偏导，
, ； （a）
, ； （b）
，； （c）
，； （d）
则：，说明应变场不存在。
2-11．设物体中任一点的位移分量为

求点A（0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。
解：

将点A的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A的应变分量

对于点A：

即：

2-12． 物体中一点应变状态为：
，，，，，，试求主应变。
解：由题可知：

即：
解方程得主应变：
2-13．已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为，，试求该点的应变分量，并求出主应变的大小与方向。
解：

即：
解方程得主应变：
由：得：

解这个方程得：m1=0.5575, m2=5.16。由于m2=5.16＞1，与方向余弦规定不符，因此，m1=0.5575才是正确解。由此得：l=0.689。
即ε1=-0.039时，方向余弦为：l=0.689，m=0.5575，n=0。
同理可求：ε2=0.029时，方向余弦为：l=0.8025，m=0.5966，n=0。
第三章
3-6．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx=75，σy=15，σz=0，τxy=15（应力单位为MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？
解：由由密席斯屈服准则：

得该材料的屈服应力为：

3-7．试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为：

证明：由密席斯屈服准则：
即： （1）
而：
（2）
所以：（1）式与(2）式相等。
3-8．试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料）
a)， b)，
c)， d)， e)， f)
解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：σs-0=σs，存在。应力处于塑性状态。
由密席斯屈服准则。存在。应力处于塑性状态。
b)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-4σs+5σs =σs，存在。应力处于塑性状态。
由密席斯屈服准则

存在。应力处于塑性状态。
c)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：1.2σs-0 =1.2σs＞σs，不存在。
由密席斯屈服准则

不存在。
d)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：0.5σs+0.6σs =1.1σs＞σs，不存在。
由密席斯屈服准则

存在。应力处于弹性状态。
e)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-0.5σs+1.5σs =σs=σs，存在，应力处于塑性状态。
由密席斯屈服准则

存在。应力处于弹性状态。
f)由屈雷斯加屈服准则：τmax=（σ1-σ3）/2=σs/2得：τmax =0.45σs＜σs，存在，应力处于弹性状态。
由密席斯屈服准则

存在。应力处于弹性状态。
3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为，
试求：
（1）主应力大小；
（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；
（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。
解：由于点的应力状态为平面应力状态，由得主应力σ1和σ2：

主应力为：σ1=78.54，σ2=11.46，σ3=0
最大切应力：τmax=33.54
单轴向屈服应力为：
作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算：
单轴向屈服应力：σs=σ1－σ3=78.54；
作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：

σs=73.48

第四章
4-5．有一金属块，在x方向作用有150MPa的压应力。在Y方向作用有150MPa的压应力，z方向作用有200MPa的压应力。试求金属块的单位体积变化率（设E=207×103MPa，ν=0.3）。
解：各方向应力为：σx=σy=-150MPa，σz=-200MPa，则球应力为：σm=-166.7 MPa
单位体积变化率为：

即：εm =-3.22×10-4
4-6．已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。

图4-16 (题15)
解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
平均应力：
应力偏量为：
由列维—米赛斯增量理论得：

主应变简图如图示：

4-7． 两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为l，承受内压力p而产生塑性变形， 设管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。
解：
4-8． 求出下列两种情况下塑性应变增量的比：
① 单向应力状态：
② 纯剪力应力状态：
①解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
，因此，应力偏量为：

由列维—米赛斯增量理论得：

塑性应变增量的比为：

②解：已知纯剪力应力状态：
应力张量为：

由列维—米赛斯增量理论得：

塑性应变增量的比为：

第六章
1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为Ф50×50mm，室温下压缩至高度h=25mm，设接触表面摩擦切应力τ=0.2Y，已知Y=746ε0.20MPa，试求所需变形力P和单位流动压力p。
解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，
mm。

τ=0.2 Y =0.2×746ε0.20=129.9MPa
当τ=τmax，
τmax=K=129.9MPa
由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为τ=0.2Y，Y=746ε0.20MPa，设三个坐标方向的正应力σr、σφ和σz视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin(dφ/2)≈dφ/2，并忽略二次微分项，则得

由于轴对称条件，σr=σφ。此时平衡方程简化为
1-1
根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

或

代入式（1-1），得

因此

或
1-2
边界条件：当时，。由近似屈服条件知，此时的，代入方程式（1-2），可得

或

代入式（1-2），得
1-3
因为：h=25，R=，K=129.9MPa

所需变形力P为：

压板上的平均单位压力用表示，则
MPa
2. 模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN，坯料尺寸为50×50×100mm3，如果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。

图6-11（题2）
解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h，宽度为dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿x轴坐标有dx的变量是，σx相应的变化量就可用微分dσx来表示。y方向上的压应力用σy表示。摩擦力f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p，如图所示。

列出单元体的微分平衡方程：

2-1
屈服条件为：
因此，
将此式代入式（2-1）整理得

积分后得：
2-2
根据应力边界条件确定积分常数。
应力边界条件为：当时，σx=p。
由屈服条件式，得
代入式（2-2）求系数C1得：

因此：

已知锤头压力P为500kN，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p。
3. 圆柱体周围作用有均布压应力，如图6-12。用主应力求镦出力P和单位流动压力。，设τ=mk。

图6-12（题3）

解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力σr、σφ和σz视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin(dφ/2)≈dφ/2，并忽略二次微分项，则得

由于轴对称条件，σr=σφ。此时平衡方程简化为
3-1
根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

或

代入式（3-1），得

因此

或
3-2
边界条件：当时，σr=σ0。由近似屈服条件知，此时的+σ0，代入方程式（3-2），可得

或

代入式（3-2），得
3-3
所需变形力P为：

压板上的平均单位压力用表示，则

5 试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加工硬化）

图6-14（题5）
解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力σr、σθ为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin(dθ/2)≈dθ/2，并忽略二次微分项，则得
5-1
将屈服条件σr—σθ=2K代入上式得

积分常数C根据凸缘的外缘处（r=R）的=0边界条件，得积分常数

凸缘变形区的应力分布为：
5-2

第七章
7-10 解：已知α族是直线族，β族为一族同心圆，c点的平均应力为：σmc=－90MPa，最大切应力为K=60MPa。C点应力为：

图7-1z
由于B点在α族上，α族是直线族，因此，所以B点应力状态和C点相同。
D点在β族上，β族为一族同心圆，因此由沿线性质得：

即：

D点应力为：

D点的应力莫尔圆

图7-2z
7-11试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P(图7-36)。设冲头宽度为2b，长为l，且l>>2b。
解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AO区域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。AB区域表面不受力，可看成是自由表面，但受AOD区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第2种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ADO和ABC之间必然存在简单滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图7-3z。

图7-3z
(2)求平均单位压力。
取一条α线BCDO进行分析，由于B点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出σ1c=0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ3c=—2k。而平均应力σmc=(σ1c+σ3c)/2，可得。
已知O点在光滑接触表面上，因此，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在σx，σy作用，均为压应力，且σ3=σy=-p，其绝对值应大于σx，根据屈服准则可得σ1=σx=-p+2k，平均应力σmo=-p+k
(3)求角度。

对α线BCDO进行分析。接触面AO上的O点的夹角ωo为－π/4，在自由表面AB上的B点的夹角ωB为π/4+γ。
则Δω=ω0-ωB=ωD-ωC=－π/4－（π/4+γ）=－π/2－γ
(4)求极限载荷
由汉盖应力方程式

得：
即：
极限载荷P为：
7-13 图7-37为一中心扇形场，圆弧是α线，径向直线是β线，若AB线上σm=-k，试求AC线上σm。

图7—37 （题13）
解：已知直线AB是β线，其上σm=-k，故B点的σmB=-k，AC线是β线，但也是直线，直线上的σm相同，求出C点的σm，即得到AC线上σm。C点的σm可通过圆弧BC求，已知圆弧BC是α线，由汉盖应力方程式

即：

即AC线上σm为：
7-14具有尖角2γ的楔体，图7-38在外力P作用下插入协调角度的V型缺口，试按1）楔体与V型缺口完全光滑和2）楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场，求出极限载荷。

图7-4 z
第一种情况：楔体与V型缺口完全光滑
解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和ADE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2γ的楔体在外力P作用下插入完全光滑的V型缺口时的滑移线场，如图7-4z。
(2)求平均单位压力和角度。
AB面是光滑接触表面上，因此。由于垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为σ1，垂直于AB面的压应力为σ3=-p，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ1=2k+σ3=2k-p，而平均应力σmB=(σ1+σ3)/2，可得。
AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出σ1E=0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ3E=—2k。而平均应力σmE=(σ1E+σ3E)/2，可得。。
(3)求极限载荷
已知BCDE线为α线，由汉盖应力方程式

得：
即：
极限载荷P为：

第二种情况：楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场

图7-5z
解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于楔体与V型缺口完全粗糙，故可认为冲头下坯料为变形刚性区。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b所示，三角形ABC和ADE存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2γ的楔体在外力P作用下插入完全粗糙的V型缺口时的滑移线场，如图7-5z。
(2)求平均单位压力和角度。
AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出σ1E=0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ3E=—2k。而平均应力σmE=(σ1E+σ3E)/2，可得。，
三角形ABC是难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力，AC面是摩擦接触表面上，垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力作用，不发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。CD为α线，。由于垂直于CD面的压应力大于平行于CD面的压应力，因此，可以确定平行于CD面的压应力为σ1，垂直于CD面的压应力为σ3=-p，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ1=2k+σ3=2k-p，而平均应力σmc=(σ1c+σ3c)/2，可得σmc= k-p。
(3)求极限载荷
已知CDE线为α线，由汉盖应力方程式

得：
即：
极限载荷P为：
7-15何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的单位流动压力p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为K；参见图7-39。

解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。BE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和BDE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图7-6z。

图7-6z
(2)求平均单位压力和角度。
AB面是光滑接触表面上，因此。由于垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为σ1，垂直于AB面的压应力为σ3=-p，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ1=2k+σ3=2k-p，而平均应力σmA=(σ1+σ3)/2，可得。
BE面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出σ1E=0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k，因此，σ3E=—2k。而平均应力σmE=(σ1E+σ3E)/2，可得σmE=-k。。
(3)求极限载荷
已知ACDE线为α线，由汉盖应力方程式

得：
即：
极限载荷P为：
第八章
8-7模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示。试分别计算其上限载荷P？并与滑移线作比较，说明何种模式的上限解为最优?

图8—19（题8）
解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第一个图。

图8-1z
四个刚性区A、B、C和D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-1z。若冲头的宽度为2b，平均极限压力为P，根据功率平衡原理，可得：

(2)模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第2个图。
四个刚性区A、B、C和D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-2z。若冲头的宽度为2b，平均极限压力为P，根据功率平衡原理，可得：

图8-2z

p≈1.98k
（3）)模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第3个图。
四个刚性区A、B、C和D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-3z。若冲头的宽度为2b，平均极限压力为P，根据功率平衡原理，可得：

图8-3z

显然第（2）种方法的答案最接近实际结果，因此第（2）种方法最优。
8-8试绘出图8-20所示板条平面应变拉拔时的速端图，并标明沿各速度不连续线的速度不连续量的位置，及计算出刚性三角形块△BCD的速度表达式。

图8—20（题9）
解：五个刚性区ABC、CBD、CDE和DE线右边和AB线左边相对滑动，其速度图如图8-4z。

图8-4z
根据功率平衡原理，可得：

8-10在如图8-22所示的正挤压过程中，假设模子面是光滑的，刚性块为图中的A、B、C，其界面为速度间断面，试用上限法求单位变形力p。

图8-22 （题11）
解：三个刚性区A、B、C相对滑动，其速度图如图8-5z。

图8-5z。
根据功率平衡原理，可得

两边同除以HVo，得单位变形力p：：

8-11挤压给定的分区如图8-23所示，试给出相应的速度图，并用上限法求解作用在冲头上的平均压力的近似值，设材料真实应力为σ，不考虑加工硬化。

图8-23（题12）
解：三个刚性区A、B、D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-6z。

图8-6z。
根据功率平衡原理，可得