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迎初赛苦练本领系列训练天天练059答案
（2013年4月19日）
姓名得分
一、填空题（）
349．一只蚂蚁由长方体顶点出发，沿着长方体的表面达到顶点的最短距离
为6，则长方体的体积最大值为
解：不妨设长方体是长、宽、高分别为：，
则蚂蚁爬的最短距离是；
由于对称性，可令：；
则；
于是，得；
所以；
第一个等号成立的条件是“”，第二个等号成立的条件是“”，
于是两个等号同时成立的条件是“”；
因此，；
所以，．

350．表示不超过实数的最大整数，则
解：注意到：按进行分类；
原式

．

351．将长3cm为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为
解：设将长为3cm的线段任意截成三段的长度分别是cm、cm和cm，
其中（，）；
三段能构成三角形，则：
，即；
，即；
，即
所求概率等于，，三条直线所包围图形的面积除以直线与
轴、轴所包围图形的面积（图略）；
故将长为3cm的线段任意截成三段，这三段能构成三角形的概率是：．
（此为几何概型(面积)，总体事件数（面积）为：，，即）

352．如果满足对任意的，都有，那么与的大小关系
为
解：考察函数：的单调性：（观察结论的特征，构造新的函数，此技巧要熟悉）
求导数：，所以是增函数；
所以．

二、解答题（）
353．数列中，且；
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：．
解：（1）
；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分
所以，；（一次线性关系用特征根法，参见《解题大全》）
又因为；
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，
即．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
（2）因为；
所以；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 15分
所以
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 20分

354．已知椭圆，是圆上任意一点，过点作椭圆的切线，
切点分别为，求的最大值和最小值．
解：设点，，；
则切线的方程为：；
切线的方程为：；（曲线的切线方程的求法公式，要清楚）
因为切线、都过点，
所以有和同时成立；（两点确定一条直线，可确定直线方程）
于是直线的方程是：；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分
联立直线的方程和椭圆的方程组成方程组：
，消去得：；
所以，；
且；
又根据：，可得：
；；┄┄ 10分
于是，

；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 15分
因为，所以，代入上式中，
可得：；
又因为，
所以，当，即点时，有最小值；
当，即点时，有最大值．┄┄┄┄ 20分

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