陕西省西工大附中2010届高三数学第六次适应性训练测试-理-人教版.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练
数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若表示虚数单位）,则
A．9 B．3 C．-9 D．-3
2．已知全集，若函数，集合N=
，则=
A． B． C． D．
3．某个容器的三视图中主视图与侧视图相同，其主视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积为（不计容器材料的厚度）
A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线以及该曲线在处的切线所围成图形的面积是
A． B． C． D．
5．在的展开式中，合并同类项之后的项数是
A．16 B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
7．在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是
A． B． C． D．
8．已知且，，当均有，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．等差数列中有两项和满足（其中，且），则该数列前项之和是
A． B． C． D．
10．已知点是双曲线上一点，、是它的左、右焦点，若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．已知为定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为 .

12．执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是 .

13．把函数图像上每一点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，所得图像的解析式为： ；
14．已知抛物线恒经过、两定点，且以圆的任一条切线除外)为准线，则该抛物线的焦点F的轨迹方程为： ；
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 .
（2）．（选修4—5不等式选讲）已知则的最小值 .

（3）．(选修4—1几何证明选讲）如图，内接于，，直线切于点C，交于点.若则的长为 ；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
（1）求角B的大小；
（2）设向量，当k>1时，的最大值是5，求k的值．

17．（本小题满分12分）
为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
(1)求文娱队的人数；
(2)求的分布列并计算．

18．（本小题满分12分）
如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
（1）求证：AB平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）已知函数.
（1）当为何值时，无极值；
（2）试确定实数的值，使的极小值为.

20.（本小题满分13分）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|,过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若=0，求直线PQ的方程.

21．（本小题满分14分）若曲线C：，过上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点的横坐标构成数列，其中．
(1)求与的关系式；
(2)若，，求的通项公式；
(3)求证：．
2010年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
A
D
C
B
C
二、填空题:
（一）必做题
11．； 12．8； 13．； 14．．
（二）选做题
15．(1)；(2)9；(3)．
三、解答题
16. （本小题满分12分）
解：(1)

（3分）
又在中，，所以，则………（5分）
(2),
. ………………（8分）
又，所以，所以.
所以当时，的最大值为. ………（10分）
………（12分）
17. （本小题满分12分）
解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有人，那么只会一项的人数是人.
（1），
，即，…………………………………………（3分）
. 故文娱队共有5人.………………（5分）
（2），……………（8分）
的分布列为

0
1
2
P

……………（10分）
…………（12分）
18．（本小题满分12分）
解法一(1)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．……(2分)
∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．……………(3分)
又，∴AB平面PCB． ……………………(4分)
(2)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则为异面直线PA与BC所成的角．………(6分)
由（1）可得AB⊥BC，∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=，PF=，
在中， tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………(8分)
（3）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得 DE PA．
∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………(10分)
由(1) AB平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=．
　 　在中，PB=，．
在中，
sin∠CED=． ……(12分)
解法二：（1）同解法一．
(2) 由(1) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，．
…………………(7分)
则+0+0=2．
== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………(8分)
（3）设平面PAB的法向量为．
，，
则 即解得 令= -1, 得 = (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为=()．，，
则 即解得 令=1, 得 n= (1，1，0)．
=．………………(12分)

19. （本小题满分12分）
（1）∵

∴ 时，≤，此时，无极值.………… （5分）
（2）当时，由得 或.
当变化时，、的变化如下表：
① 当，即时

2

0

0

极小值

极大值

② 当，即时

0

0

极小值

极大值

∴ 时，由 得 ，∴
时，由 得 ，∴
综上所述，或时，有极小值. …………………… (12分)

20. （本小题满分13分）
解．（1）由题意，设曲线的方程为= 1（a＞0,b＞0）
由已知 解得a = ，c = 3所以双曲线的方程为= 1… (6分)
（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y =k ( x – 3 ).
由方程组 得
由于过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点， 则－２≠０，即k≠，
　　由于△＝36-4(-2)(9+6)=48(+1)＞0即k∈R.
∴k∈R且k≠（*）　………………………(８分)
设Ｐ（，），Ｑ（，），则

由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）
于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9] （3）
∵ = 0，∴（-1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + = 0 （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
= 0
整理得=，∴k = 满足（*）
∴直线PQ的方程为x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)
21．（本小题满分14分）
解：（1）
∴ ……………（4分）
（2）
∴ …………………（8分）
又 ∴为等比数列
∴
∴ ………………（10分）
（3），∴
当为奇数时，
…………………（12分）
当为偶数时， ……（13分）
当为奇数时，

综上， …………………………………（14分）

用心 爱心 专心