第8讲矩阵的直积及其应用.doc

第8讲 矩阵的直积及其应用
内容：1. 矩阵直积的定义与性质
2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用
矩阵直积（Kronecker积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．

§1 矩阵直积的定义与性质
1.1 矩阵直积
定义1.1 设，，称如下的分块矩阵为与的直积（Krionecker积，张量积），记为．是一个个块的分块矩阵，简写为．
显然与为同阶矩阵，但一般，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有.
例1.1 设，，则
，.
定义1.2 若，则 ，称为向量与的外积.
1.2 矩阵直积的性质
定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：
（1）；
（2）；
（3），；
（4）；
（5）；
（6）若则
，
若，，则；
（7）若，均可逆，则可逆，且；
（8）若和都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则也分别是这种类型的矩阵.
定义1.3二元复系数多项式为，若矩阵，，则阶矩阵，其中，.
定理1.2 设，，的特征值为，的特征值为，则的全体特征值为，．
证明 由Schur定理知存在酉矩阵使得
，，
其中，为上三角矩阵，由定理1.1知， 为酉矩阵，为上三角矩阵，则

也是上三角矩阵. 且与有相同的特征值. 则的对角元即为的全部特征值. 因为
，．
因此，的对角元为，．
推论1.1 设的特征值为，的特征值为，则
（1）的特征值为，；
（2）的个特征值为，，；
（3）；
（4）.
定理1.3 设，则．
证明 记，，有相应阶数的可逆矩阵使得，
则 ，由
，可逆，则
．

§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用
2.1 矩阵的拉直
定义2.1 设，，， 令
，称为矩阵的列拉直．矩阵也可以按行拉直为行向量，记作，有
, ．
定理2.1 设，则
．
证明 记，则
，
而
故 ．
推论2.1 设，则
（1）；
（2）；
（3）
2.2 线性矩阵方程
在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov型方程）的求解问题，其中，，为已知常数矩阵，为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.
一般的线性矩阵方程可表示为，
其中为已知常数矩阵，未知矩阵.
定理2.2 线性矩阵方程有解的充分必要条件是，其中，，为已知常数矩阵，未知矩阵.
证明 有解，有解
有解，有解

定理2.3 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有唯一解的充要条件是，，其中，，为已知常数矩阵，为未矩阵．
证明 有唯一解，有唯一解有唯一解
的特征值不为零

推论2.1 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有非零解的充分必要条件是存在与，使，．
推论2.2 设，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是时必有，其中为的谱，为的共轭复数.
定理2.4 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是
，．其中为已知常数矩阵，为未知矩阵．
定理2.5 若矩阵方程中矩阵的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ，其中，，为已知常数矩阵，为未知矩阵．
证明 设的特征值为，存在可逆矩阵，使，其中，取0或1． 则
，这里，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为.设的特征值为，类似可得出，存在可逆矩阵，，其中，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为．
因 的右端乘积矩阵的元素都是因子的关于的多项式倍数的组合，且积分存在．令，则 ，．两边求积分，可得 ，即 ．也就是的解，因积分存在，且的所有特征值实部为负，则，．唯一性可由定理2.3得出.
推论2.3 设的特征值满足，则方程的唯一解为．如果为Hermite正定矩阵，则解矩阵也是Hermite正定矩阵．
证明 只需证明后一结论即可. 当时，有．且对，由于可逆，则，于是当正定时，有，从而有，故为正定矩阵．