2023年春考数学知识点.docx

2023天津春季高考数学知识点
一、解不等式
1、小于零，取中间；大于零，取两边
例如：(x – 2)(x + 3) < 0      è – 3 < x < 2
例如：(x + 1)( x – 4) > 0 è x < – 1或x > 4
2、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0
       例如：> 1 => > 0 => < 0 =>(x – 1)(x – 3) < 0 =>1 < x < 3
3、绝对值不等式
       ① |x – 1| < 3 => – 3 < x – 1 < 3 => – 2 < x < 4                      “小于，取中间”
       ② |x – 2| > 1 => x – 2 < – 1或 x – 2 > 1 =>x < 1或x > 3      “大于，取两边”
4、不等式的解为R、或解为空集的问题
       一般情况下，运用判别式b2 – 4ac < 0 (或≤0)进行解决。
       例如：x2 – mx + 1 > 0的解为R，求m的取值范围_____
       △= b2 – 4ac = m2 – 4 < 0 = > – 2 < m < 2
二、一元二次方程求根公式
       ax2 + bx + c = 0，则求根公式：x1,2 =
       ①当△= b2 – 4ac > 0时，有两个实根；
       ②当△= b2 – 4ac = 0时，有两个等根
       ③当△= b2 – 4ac < 0时，无实根
三、集合
1、A∩B，表达求A、B的公共元素。
       例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∩B = {x | 2 < x < 5 }
2、A∪B，表达将A、B的元素全都合在一起，反复写一遍。
       例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∪B = {x | 1 < x < 6 }
3、CuA，表达在全集U中求A的补集。
       例如：U = {1，2，3，4，5，6}，A = {2，4，5}，则CuA = { 1，3，6 }
三、一元二次函数
1、f(x) = ax2 + bx + c (a≠0)           对称轴x0 =
2、x无范围时，f(x)的最大值或最小值，只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值：
①a > 0，开口向上，f(x0)为最小值；②a < 0，开口向下，f(x0)为最大值
3、若x有范围，则画出f(x)的示意图，再将x的范围标上，找f(x)的最高和最低值即可
       例如：y = x2 – 4x + 5，x∈[ 1,4]，求函数的最大值和最小值。
       示意图如右，对称轴为x = 2，标出x的范围，可以看出：
       ymin = f(2) = 1，ymax = f(4) = 5 
四、指数与指数函数
1、运算性质
       a0 = 1，am an = am+n，(am)n = amn，(ab)n = anbn，，，
       ，

2、单调性
       f(x) = ax ( a > 0，a≠1)        当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升；
       例如：解不等式：22x – 1 <
       不等式可以化为：22x – 1 < 2–2，由于a = 2为上升的，所以：2x – 1 < – 2，得x < – 1/2五、对数与对数函数
1、运算性质
       ab = N < == > logaN = b，当a = 10时，logaN = lgN
       logaMN = logaM + logaN，loga= logaM - logaN，
       loga1 = 0，logaa = 1
2、实用性质：
logab == >当a、b同时大于1或同时小于1，则logab > 0
logab == >当a、b中一个小于1，另一个大于1，则logab < 0
例如：< 0；> 0等。
3、单调性
       f(x) = logax ( a > 0，a≠1)           当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升；
六、常用函数
1、正比例函数：y = kx (k可正可负)
       例：正比例函数f(x)过点(2，6)，求f(1)
       解：设y = kx，代入点(2，6)，得6 = 2k，∴k = 3，∴y = 3x，所以y(1) = 3
2、反比例函数：y = (k可正可负)，同法同上类似。
3、一次函数：y = kx + b
       也表达直线，其中k为斜率，当k > 0时，上升；当k < 0时，下降。
七、定义域求法
1、分母不为0
2、偶次根式内要大于等于0
3、对数内的式子要大于0
       例如：求y =定义域。根据上面法则得：，即可求出定义域。
八、奇函数与偶函数
1、偶函数：f( – x ) = f( x )
       ①偶函数的图像关于y轴对称；
       ②偶函数求参数问题，可以取x = 1进行求解参数。
       例如：已知f(x) = ( x – m )( x + 3 )为偶函数，求m
       解：可以取x = 1，运用f(– 1) = f(1)求m，f(–1) = 2(–1 – m) = – 2 – 2m，f(1) = 4(1 – m)
              由f(– 1) = f(1)，可得m = 3
       ③常见的偶函数：y = x2，y = cosx，y = | x |
2、奇函数：f( – x ) = – f( x )
       ①奇函数的图像关于原点对称（即斜对称）；
       ②若f(0)故意义，则f(0) = 0
       ③奇函数求参数问题：可运用f(0) = 0求解参数；若f(0) = 0求解失效，可取x = 1求解参数。
       例如：已知f(x) =为奇函数，求m
       解：取x = 0，运用f(0) = 0求m，f(0) = m – 2 = 0，可得m = 2
       ④常见的奇函数：y = x，y =，y = x3，y = sinx，y = tanx
九、向量
1、设向量a，则| a |表达向量a的模，即向量a的长度。
2、向量平行于垂直定理：
①若a、b平行，则a = kb
       ②若a⊥b，则ab = 0
3、a2 = | a |2
4、向量夹角公式：，其中θ为两向量的夹角。
       说明：只要题目中牵涉到角的问题，则必须用上面的公式。
5、向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b = (x2，y2)
       ① a±b = (x1±x2，y1±y2 )
       ② ab = x1x2 + y1y2
       ③ | a | =
       ④ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量=(x2 – x1，y2 – y1)
       ④若a // b，则：x1y2 = x2y1，若a⊥b，则：ab = x1x2 + y1y2 = 0
       例1：a = (m + 1，3)，b = ( - 2m，8)，若a⊥b，求m。
       解：由于垂直，所以ab= 0，∴- 2m(m + 1) + 24 = 0，解得m = 3或m = - 4
十、数列
1、等差数列
       ①通项公式：an = a1 + (n – 1)d
       ②前n项和公式：Sn =，一般情况下，均运用第1个公式。
       ③等差中项：若a、b、c为等差数列，则a + c = 2b，b称为等差中项。
       说明：做等差题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和d，即可求解。
2、等比数列
       ①通项公式：an = a1 qn - 1
       ②前n项和公式：Sn =，一般情况下，均运用第1个公式。
       ③等比中项：若a、b、c为等比数列，则ac = b2，b称为等比中项。
       说明：做等比题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和q，再运用除法运算可求解。
十一、排列、组合
1、排列：= n(n – 1)…(n – m + 1)，即从n开始向下乘，共乘m个数。
2、组合：=，其中分子是从n开始向下乘，共乘m个数。
       说明：假如顺序变化，结果不相同，则为排列；若结果与顺序无关，则为组合。
3、常见排列：站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。
4、常见组合：任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。
5、排列组合的常见模型
       ①捆绑法：例如6个人站队，甲、乙需要相邻，有多少种站法？
可以将甲、乙捆绑为1人进行解决，相等于5人，共有种站法，其中甲、乙两人之间还可以排列，所以共种站法。
②插空法：例如5男3女站队，规定女生不相邻，求排法？
先排男生，产生6个空位，再从6个空位选择3个给女生，所认为
③骰子题目：只需列出36种也许，再按照题目规定进行排查即可。
④住房问题：例如：4人住3个不同房间，每个房间至少一人，共有多少种住法？
同一个房间的二人无顺序，因此，先要绑定二人，相称于3人，再安排到每个房间，所以共有住法
十二、概率、记录
1、概率
       ①排列组合算概率：概率p = 相关数 / 总数
       ②概率算概率：这类题目一般不需要排列。
例如：甲投篮命中率为0.9，乙命中率为0.8，两人各投一次，求至少一人命中的概率。
所求为：甲命中·乙未命中 + 甲未命中·乙命中 + 甲乙均命中
              = 0.9×0.2 + 0.1×0.8 + 0.9×0.8 = 0.98
解决这类题目，一定将过程弄清楚，过程清楚了，式子自然就出来了。
③伯努力公式：
设单次实验发生的概率为p，则反复做n次实验，恰好发生k次的概率：
特点：连续实验，恰好发生k次。
例如：投篮命中率为0.9，现连续投篮3次，则恰好投中两次的概率是多少？
解：此题为伯努力题型，n = 3，k = 2，p = 0.9
       所以：p = = 0.243
3、概率分布
       例如：设随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.3
       ①分布列的特点：所有概率之和为1
       ②均值或盼望Eξ的计算公式：上下相乘，再加起来：1×0.2 + 2×0.2 + 3×0.3 + 4×0.3 = 2.7
       ③方差Dξ的计算公式：Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2
              其中E(ξ2) = 12×0.2 + 22×0.2 + 32×0.3 + 42×0.3 = 8.5
              即用ξ 的平方×相应的概率值，再求和即可。
              所以，对于本例，Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2 = 8.5 – (2.7)2 = 0.71
       ④求P(2≤ξ≤3)，只需将ξ = 2或ξ = 3的概率相加即可。P(2≤ξ≤3) = 0.2 + 0.3 = 0.5
3、分层抽样
       按比例计算即可。
4、频率直方图
       ①样本容量：所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试，则50为样本容量。
       ②频率：相称于概率，或比例
       ③频数：元素个数
例如：从全校1000名学生中取50（50即为容量，不是1000）人测试，测试结果如下：
分数范围
10-60分
60-90分
90分以上
人数
10
35
5
频率
0.2
0.7
0.1
其中各组人数即为频数。频率也是比例，或概率。
④频率直方图
频率直方图左侧的y轴数据，是运用频率除以组距得到的，因此，若要运用左侧的数据计算频率(或比例)，就用“左侧的数×组距”即可。
注意：左侧的所有数之和×组距 = 1

十三、三角
1、特殊角的三角函数值
Α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
sinα
0

1

0
- 1
cosα
1

0
-
-
-
-1
0
tanα
0

1

×
-
-1
-
0
×
2、任意角的三角函数：设角α终边上一点P(x，y)，r =，则：
       sinα =               cosα =                     tanα =
3、各三角函数的正负情况：
       sinα：①②正，③④负；     cosα：①④正，②③负                     tanα：①③正，②④负
4、同角三角函数关闭
       sin2α + cos2α = 1          tanα =
5、诱导公式：纵变横不变，正负看象限
       纵变横不变：若角为纵角，如，等，诱导时就需要变，sinα，cosα之间变。
                            若角为恒角如π等，则函数不需要变。
正负看象限：看原始函数所在象限的正负情况。
例1：sin(π + α)，由于π为横角，所以不变仍为sinα，又由于π + α表达第三象限，正弦在第三象限为负的，因此，诱导结果为：sin(π + α) = - sinα
例2：cos(+ α)，由于π/2为纵角，所以需要变为sinα，又由于π/2 + α表达第二象限，余弦在第二象限为负的，因此，诱导结果为：cos(+ α) = - sinα
6、加法公式
       ①sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ           sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ
       ②cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ          cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ
       ③tan(α + β) =                  tan(α – β) =
7、二倍角公式
       ①sin2α = 2sinα cosα
       ②cos2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α = cos2α – sin2α
       ③tan2α =