2023年春考数学知识点.docx

2023天津春季高考数学知识点一、解不等式1、小于零，取中间；大于零，取两边例如：(x 2)(x + 3) 0 3 x 0x 42、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0例如： 1 = 0 =(x 1)(x 3) 1 x 33、绝对值不等式|x 1| 3 x 1 2 x 1 = x 2 1 =x 3“大于，取两边”4、不等式的解为R、或解为空集的问题一般情况下，运用判别式b2 4ac 0的解为R，求m的取值范围_= b2 4ac = m2 4 2 m 0时，有两个实根；当= b2 4ac = 0时，有两个等根当= b2 4ac 0时，无实根三、集合1、AB，表达求A、B的公共元素。例如：A = x | 1 x 5 ，A = x | 2 x 6 ，则AB = x | 2 x 5 2、AB，表达将A、B的元素全都合在一起，反复写一遍。例如：A = x | 1 x 5 ，A = x | 2 x 6 ，则AB = x | 1 x 0，开口向上，f(x0)为最小值；a 0，a1)当0 a 1时，f(x)为上升；例如：解不等式：22x 1不等式可以化为：22x 1 22，由于a = 2为上升的，所以：2x 1 2，得x 1/2五、对数与对数函数1、运算性质ab= N logaN = b，当a = 10时，logaN = lgNlogaMN = logaM + logaN，loga= logaM - logaN，loga1 = 0，logaa = 12、实用性质：logab = 当a、b同时大于1或同时小于1，则logab 0logab = 当a、b中一个小于1，另一个大于1，则logab 0例如： 0等。3、单调性f(x) = logax ( a 0，a1)当0 a 1时，f(x)为上升；六、常用函数1、正比例函数：y = kx (k可正可负)例：正比例函数f(x)过点(2，6)，求f(1)解：设y = kx，代入点(2，6)，得6 = 2k，k = 3，y = 3x，所以y(1) = 32、反比例函数：y =(k可正可负)，同法同上类似。3、一次函数：y = kx + b也表达直线，其中k为斜率，当k 0时，上升；当k 0时，下降。七、定义域求法1、分母不为02、偶次根式内要大于等于03、对数内的式子要大于0例如：求y =定义域。根据上面法则得：，即可求出定义域。八、奇函数与偶函数1、偶函数：f( x ) = f( x )偶函数的图像关于y轴对称；偶函数求参数问题，可以取x = 1进行求解参数。例如：已知f(x) = ( x m )( x + 3 )为偶函数，求m解：可以取x = 1，运用f( 1) = f(1)求m，f(1) = 2(1 m) = 2 2m，f(1) = 4(1 m)由f( 1) = f(1)，可得m = 3常见的偶函数：y = x2，y = cosx，y = | x |2、奇函数：f( x ) = f( x )奇函数的图像关于原点对称（即斜对称）；若f(0)故意义，则f(0) = 0奇函数求参数问题：可运用f(0) = 0求解参数；若f(0) = 0求解失效，可取x = 1求解参数。例如：已知f(x) =为奇函数，求m解：取x = 0，运用f(0) = 0求m，f(0) = m 2 = 0，可得m = 2常见的奇函数：y = x，y =，y = x3，y = sinx，y = tanx九、向量1、设向量a，则| a |表达向量a的模，即向量a的长度。2、向量平行于垂直定理：若a、b平行，则a= kb若ab，则ab= 03、a2= | a |24、向量夹角公式：，其中为两向量的夹角。说明：只要题目中牵涉到角的问题，则必须用上面的公式。5、向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b = (x2，y2)ab= (x1x2，y1y2)ab= x1x2+ y1y2|a| =设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量=(x2 x1，y2 y1)若a/b，则：x1y2= x2y1，若ab，则：ab= x1x2+ y1y2= 0例1：a= (m + 1，3)，b= ( - 2m，8)，若ab，求m。解：由于垂直，所以ab= 0，- 2m(m + 1) + 24 = 0，解得m = 3或m = - 4十、数列1、等差数列通项公式：an= a1+ (n 1)d前n项和公式：Sn =，一般情况下，均运用第1个公式。等差中项：若a、b、c为等差数列，则a + c = 2b，b称为等差中项。说明：做等差题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和d，即可求解。2、等比数列通项公式：an= a1qn - 1前n项和公式：Sn =，一般情况下，均运用第1个公式。等比中项：若a、b、c为等比数列，则ac = b2，b称为等比中项。说明：做等比题目，只需将题目中的有关数，全都更换为a1和q，再运用除法运算可求解。十一、排列、组合1、排列：= n(n 1)(n m + 1)，即从n开始向下乘，共乘m个数。2、组合：=，其中分子是从n开始向下乘，共乘m个数。说明：假如顺序变化，结果不相同，则为排列；若结果与顺序无关，则为组合。3、常见排列：站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。4、常见组合：任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。5、排列组合的常见模型捆绑法：例如6个人站队，甲、乙需要相邻，有多少种站法？可以将甲、乙捆绑为1人进行解决，相等于5人，共有种站法，其中甲、乙两人之间还可以排列，所以共种站法。插空法：例如5男3女站队，规定女生不相邻，求排法？先排男生，产生6个空位，再从6个空位选择3个给女生，所认为骰子题目：只需列出36种也许，再按照题目规定进行排查即可。住房问题：例如：4人住3个不同房间，每个房间至少一人，共有多少种住法？同一个房间的二人无顺序，因此，先要绑定二人，相称于3人，再安排到每个房间，所以共有住法十二、概率、记录1、概率排列组合算概率：概率p =相关数/总数概率算概率：这类题目一般不需要排列。例如：甲投篮命中率为0.9，乙命中率为0.8，两人各投一次，求至少一人命中的概率。所求为：甲命中乙未命中+甲未命中乙命中+甲乙均命中= 0.90.2 + 0.10.8 + 0.90.8 = 0.98解决这类题目，一定将过程弄清楚，过程清楚了，式子自然就出来了。伯努力公式：设单次实验发生的概率为p，则反复做n次实验，恰好发生k次的概率：特点：连续实验，恰好发生k次。例如：投篮命中率为0.9，现连续投篮3次，则恰好投中两次的概率是多少？解：此题为伯努力题型，n = 3，k = 2，p = 0.9所以：p = 0.2433、概率分布例如：设随机变量的分布列为：1234P0.20.20.30.3分布列的特点：所有概率之和为1均值或盼望E的计算公式：上下相乘，再加起来：10.2 + 20.2 + 30.3 + 40.3 = 2.7方差D的计算公式：D = E(2) E() 2其中E(2) = 120.2 + 220.2 + 320.3 + 420.3 = 8.5即用的平方相应的概率值，再求和即可。所以，对于本例，D = E(2) E() 2= 8.5 (2.7)2= 0.71求P(23)，只需将 = 2或 = 3的概率相加即可。P(23) = 0.2 + 0.3 = 0.53、分层抽样按比例计算即可。4、频率直方图样本容量：所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试，则50为样本容量。频率：相称于概率，或比例频数：元素个数例如：从全校1000名学生中取50（50即为容量，不是1000）人测试，测试结果如下：分数范围10-60分60-90分90分以上人数10355频率0.20.70.1其中各组人数即为频数。频率也是比例，或概率。频率直方图频率直方图左侧的y轴数据，是运用频率除以组距得到的，因此，若要运用左侧的数据计算频率(或比例)，就用“左侧的数组距”即可。注意：左侧的所有数之和组距= 1十三、三角1、特殊角的三角函数值030456090120135150180270sin010- 1cos10-10tan01-1-02、任意角的三角函数：设角终边上一点P(x，y)，r =，则：sin =cos =tan =3、各三角函数的正负情况：sin：正，负；cos：正，负tan：正，负4、同角三角函数关闭sin2 + cos2 = 1tan =5、诱导公式：纵变横不变，正负看象限纵变横不变：若角为纵角，如，等，诱导时就需要变，sin，cos之间变。若角为恒角如等，则函数不需要变。正负看象限：看原始函数所在象限的正负情况。例1：sin( + )，由于为横角，所以不变仍为sin，又由于 + 表达第三象限，正弦在第三象限为负的，因此，诱导结果为：sin( + ) = - sin例2：cos(+ )，由于/2为纵角，所以需要变为sin，又由于/2 + 表达第二象限，余弦在第二象限为负的，因此，诱导结果为：cos(+ ) = - sin6、加法公式sin( + ) = sin cos + cos sinsin( ) = sin cos cos sincos( + ) = cos cos sin sincos( ) = cos cos + sin sintan( + ) =tan( ) =7、二倍角公式sin2 = 2sin coscos2 = 2cos2 1 = 1 2sin2 = cos2 sin2tan2 =