三角函数一章教案.doc

1.1.1 任意角
一、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；
（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（3）理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法。
2、过程与方法
通过创设情境，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感、态度与价值观
（1）通过角的概念推广，帮助学生树立运动变化观点；
（2）通过知识背景的揭示，引发学生学习兴趣；
（3）通过创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识。
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: “旋转”定义角，终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
学法：回忆，联想，探索，自学，引导
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
（一）创设情境
问题1：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”。
问题2：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），在跳水比赛中我们经常听到这样的术语“翻腾两周半”；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
逆时针旋转300；顺时针旋转300.
在生活中我们常常会遇到下列问题，如（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
（二）探究新知
B

α
O A
图1
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如图1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫角的终边，射线的端点叫做叫角的顶点。
注意：这里的角的定义是“动态的”（旋转），与初中角的“静态”定义有区别。
2. 正角、负角和零角
如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常遇到按不同方向旋转而成的角. 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.我们又该如何区分和表示这些角呢?
为了区别起见，我们规定:
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
阅读教材：教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；
说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
3. 象限角
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
阅读教材：教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.
特别提醒:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
练习: （1）(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?直角呢？钝角呢？
（2）分别是第几象限角？有终边相同的角吗？
4. 终边相同的角的表示
将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线,以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?
我们先来看这样一个问题：今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
探究:不难发现,终边相同的角都相差的整数倍。
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
注意：终边相同的角有无数个，它们不一定相等，它们相差的整数倍；但相等的角终边一定相同。
（三）学以致用
例1．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角.（注：是指）
（1）； （2）； （3）
例2. 已知角与终边相同，判断第几象限角。
思考：已知角与终边相同，判断第几象限角。
例3. 写出下列角的集合。
（1）终边在第二象限上的角；（2）终边在正半轴上的角；
（3）终边在负半轴上的角；（4）终边在轴上的角；
注意：“”不能丢！
60°
y
x
O
45°
例4.分别写出下列影阴左右两部分表示的角的范围。

思考1：写出终边在轴上的角的集合；
思考2：角是第二象限角，判断第几象限角？

（四）巩固深化
1．课本P7 练习1—3题；
2．写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.
（五）课堂小结
（1）角的概念，正角、负角和零角：学会用运动的观点去理解；
（2）象限角与非象限角：
（3）终边相同的角的表示：
（4）几种特殊的终边相同角的表示：
（六）布置作业
《课课练》第1课+《导学大课堂》第1课。

1.1.2弧度制
二、 教学目标：
1、知识与技能
（1）要求学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度制与角度制互化，熟记特殊角的弧度数。
（2）了解角的集合与实数集可以建立起一一对应的关系。
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。
2、过程与方法
通过创设情境，引入弧度制的意义；师生共同探索弧度制与角度制的互化关系；通过几个特殊角的弧度数加深对弧度制的认识，了解角的集合与实数集可以建立起一一对应的关系；通过已有知识探求弧度制下的弧长公式，并利用弧度制解决某些简单的实际问题。
3、情感、态度与价值观
（1）通过介绍弧度制的有关历史资料和欧拉的有关事迹，激发学生学习兴趣和积极性，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神。
（2）通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
（3）通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
学法：在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教具:多媒体、三角板
四、教学设想
（一）创设情境
情境：在课本本章的引言中提到的“周而复始”的数学模型，我们曾考虑用来表示点，那么之间有怎样的关系？
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念。
（二）探究新知
1．1弧度的角的定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角．
如图，弧AB的长等于半径，则弧所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad，读作弧度．

o
l=r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B

在图中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝r，那么∠AOC的弧度数就是rad；
如圆心角∠AOB所对的弧长为l，那么∠AOB的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．
思考：为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?
这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明： 设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算
现在我们知道：1个周角＝360°＝r，所以， 360°＝2π rad，由此可以得到180°＝π rad，1°＝≈0．01745 rad，1rad＝≈57.30°＝57°18’。
练习：把下列角用弧度制来表示：
度

弧度

说明：（1）在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝π rad这一关系式．
（2）今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2 rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad ，不必写成45°＝0．785弧度．
（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（课本p.8.图）。
度
0°

45°
60°

180°

360°
弧度

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
正角
零角
负角
正实数
零
负实数

任意角的集合 实数集R
4. 弧度制下的弧长公式、扇形面积公式
o
r
l
A
B

由|α|＝得，弧长公式
若，则有圆心角为的扇形的面积公式为

说明：可以与三角形的面积公式类比记忆。
（三）学以致用
例1 把下列各角从弧度化为度：
（1） ; (2) 3.5
解:; 3.5=3.5×≈200.54°

例2 把下列各角从度化为弧度：
(1)252° (2)11°15′
解：252°＝252×=
11°15′＝11.25°=11.25×=

例3 已知扇形的周长为8cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积。

例4（1）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
（2）用弧度制分别写出下列影阴左右两部分表示的角的范围。
60°
y
x
O
45°

（四）巩固练习
课本P.9.练习
(五) 归纳小结
主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数；弧长公式；扇形的面积公式；
（六）布置作业
《课课练》

1.2.1任意角的三角函数(1)
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2）能根据定义确定三角函数的定义域；
（3）能根据定义函数值在各象限的符号。
2、过程与方法
⑴初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生通过直角坐标系把这个定义推广到任意角；
⑵根据定义，由比值有意义得出各三角函数的定义域；
⑶通过讨论比值的符号得出三种函数值在各象限的符号。
3、情态与价值
⑴进一步体会坐标法的工具性；
⑵体会分类思想，培养分析问题和解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义、定义域和函数值在各象限的符号；
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义的正确理解.
三、学法与教学用具
学法：通过知识回顾，了解其局限性，从而认识到新定义的必要性；让学生通过自主分析、探究，掌握各三角函数的定义域和符号规律。
教学用具:多媒体、三角板。
四、教学设想
（一）创设情境
⑴锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。在直角三角形中，如何定义锐角的正弦、余弦、正切？
⑵你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
⑶上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
（二）探求新知
1．三角函数的概念：
⑴定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
r
O
x
y
P(x ,y)
a
P(x , y)
O
x
M
x
y
r
y
a

①比值叫做的正弦，记作，即；
②比值叫做的余弦，记作，即；
③比值叫做的正切，记作，即。
⑵说明：①的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角，这些比值与点在的终边上的位置有无关系？即：对于一个确定的角，这些比值是否唯一确定？
易见：无论取何值，比值、唯一确定，所以正弦、余弦都是的函数。
思考：比值是否对一切角都有意义？为什么？
③正弦、余弦、正切都是以角为自变量、比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域
⑴在引入弧度制后，角的集合和实数集合建立了怎样的对应关系？
⑵当我们用弧度表示角时，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数。那么以上三个函数的定义域分别是什么？
函 数
定 义 域

3．三角函数的符号
⑴如何确定各三角函数值的符号？
⑵根据任意角三角函数的定义,将正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号填入表格中：
三角函数
符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

（三）学以致用
例1． 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值。
解：因为，所以，于是
；；。
思考1：若角的终边为射线，求的正弦、余弦和正切值。
思考2：若角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值。
思考3：若角的终边经过点，且，求的正弦、正切值。
练习：求下列各角的正弦、余弦和正切值：
（1）；（2）；（3）．
思考：若，则=______,=_______,=_______.

例2．确定下列三角函数值的符号:
(1); (2); (3); (4)

例3．求函数的定义域
思考：若，则；
若，则；
若，则。
（四）巩固提高
课本第15页练习1～6
（五）归纳小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)三角函数的定义域都是一切实数吗？
(3)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?它的一般解题步骤怎样？
（六）布置作业
课课练第3课

1.2.1 任意角的三角函数（2）
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
（2）利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；
2、过程与方法
通过引入单位圆和有向线段结合三角函数的定义导出正弦、余弦、正切的三角函数值的几何表示--三角函数线；在通过数形结合的方法探讨三角函数线的应用。
3、情感、态度与价值观
⑴进一步体会数形结合思想在函数研究中的运用；
⑵培养分析问题和解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点: 三角函数线的应用；
难点: 对三角函数线的正确理解；
三、学法与教学用具
学法：自主学习、合作探究、自我感悟
教学用具:多媒体、三角板、圆规。
四、教学设想
（一）创设情境
从前面的函数研究发现，我们除了可以从“数”的角度去认识研究函数外，我们还可以从“形”的角度去认识研究函数，那么三角函数是否也是如此呢？
我们首先要解决的是三角函数值是否可以用形来表示。下面我们就来研究这个问题。
（二）探求新知
1.单位圆：
圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2.有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段的数量：有向线段的长度前面加上表示方向的符号。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

O
x
A
1
y
T
a
P
M
O
x
A
1
y
T
a
P
M
O
x
A
1
y
T
a
P
M
O
x
A
1
y
T
a
M
P

由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
（三）学以致用
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
O
T1
A
M1
y
P1
P2
M2
x
T2
(1) 与 (2) tan与tan
解： 如图可知：

tan tan

例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
(1) sina≥ (2)tana
x
y
o
T
A
210°
30°
x
y
o
P1
P2
解： (1) (2)

30°≤a≤150° 30°a90°或210°a270°

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
思考：求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（四）巩固提高
课本P10练习
（五）归纳小结
本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
（六）布置作业
课课练第4课
补充：
1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）．

1.2.2 同角三角函数的基本关系（1）
三、 教学目标：
1、知识与技能
（1）能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握三种基本关系式之间的联系；
（3）熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
2、过程与方法
通过定义导出同角三角函数的基本关系式；通过问题解决掌握三种基本关系式之间的联系；从而初步体验三角恒等式的变换，熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；
3、情感、态度与价值观
在三角恒等式变换中，体会化归的思想方法；培养思维的灵活性。
二、教学重、难点
重点: 同角三角函数的基本关系式。
难点: 同角三角函数的基本关系式的变式应用。
三、学法与教学用具
学法：自主、讨论、体验、感悟
教具:多媒体、三角板
四、教学设想
（一）创设情境（复习引入）
问题1 如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
问题2 由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α三角函数之间有什么关系？
（二） 探索新知
O
x
P（x,y)
cosa
sina
y
M
a
1.同角三角函数的基本关系式：
方案1：由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）平方关系：；
（2）商数关系：；
方案2：由三角函数的三角函数线(如图)，
我们也可以得到上述关系。

说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的：；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
（三）学以致用
例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵，
∴，
又∵是第二象限角，
∴，即有，从而
， ．

（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：（1）已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
（2）解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
总结解题的一般步骤：①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；②根据同角三角函数的关系式求值。
例3 已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），
即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
例3 已知，求
解：将 两边平方，得：

思考1：若在第二象限呢？若在第四象限呢？结果是什么？
思考2：已知，求
解：由
由
联立：

（四）课堂巩固
课本第18页 练习3，4
（五）归纳小结：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
（六）布置作业：
《课课练》第5课

1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
一、教学目标：
1、知识与技能
根据三角函数关系式进行三角式的化简；能够利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
2、过程与方法
灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。
3、情感、态度与价值观
培养观察、归纳的思维品质，提高数学学习的兴趣。
二、教学重、难点
重点:运用公式对三角式进行化简和证明。
难点: 同角三角函数关系式的变形运用。
三、学法与教学用具
学法：自主、讨论、体验、感悟
教具:多媒体
四、教学设想
（一）创设情境（复习引入）
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）平方关系：；
（2）商数关系：；
2.已知，求
（二） 探索新知
1.三角函数式的化简：
例1 化简下列各题：
（1）； （2）
（3）；（4）
解：（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式
（4）法1：原式
=
法2：原式=
法3：原式=
思考：化简
答案：x在第一、三象限为4，x在第二、四象限为-4
说明：(1)利用同角三角函数关系式去掉根号是解题的关键，也是解此类题的入手之处。
(2)化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：①所含三角函数的种类最少；②能求值（指准确值）尽量求值；③不含特殊角的三角函数值。
2.三角函数式的求值（给值求值）
例2 已知，求
解：

说明：分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式，常常
①利用平方关系把二次齐次式化“1”。
②把分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式同除以,将分子、分母转化为的代数式；
3.三角三角恒等式的证明：
例4 求证下列三角恒等式：
（1）；（2）
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
（2）略
说明：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
（三）课堂巩固：
1.已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值.
解：∵12 sin+5 cos=0 ∴sin= cos，又
则（ cos）2+=1，即=
∴cos=± ∴
2.已知，求（1）；
（2）； ，
（1）原式=；（2）原式=
3.已知 求
解：∵sin2a + cos2a = 1 ∴
化简，整理得：
当m = 0时，
当m = 8时，。
4.已知，求值；
提示：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；
解：可求
5.已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
6.已知方程的两根分别是，
求
解：
（化弦法）
（四）课堂小结：
本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简。化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，
2．常用的变形措施有：（1）正切化弦；（2）化“1”。
（六）布置作业：
1.课本P22习题 第7--10题(做在练习本上)
2.导学大课堂

《同角三角函数关系》练习
1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是 （ ）
A. B. C. D.1
2．已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是 （ ）
A. B. C. D.±
3．若sinα＝，cosα＝，＜α＜π，则a的值满足 （ ）
A.a＝0 B.a＞3或a＜－5 C.a＝8 D.a＝0或a＝8
4．化简的结果为 （ ）
A.cos4 B.－cos4 C.±cos4 D.cos22
5．已知sinα＝，且α为第二象限角，那么tanα＝
6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为
7．若tanα＝,π<α<π，则sinα·cosα＝
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.

9．化简：－.

10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.

同角三角函数关系的应用答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．－ 6．－ 7．
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
分析：依据已知条件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解.
解：∵＋
＝＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ
∴sinβ≥0，cosβ≤0
∴β是第二象限角或终边在x轴负半轴和y轴正半轴上的角
∵0≤β≤2π ∴≤β≤π
9．化简：－.
原式＝－
＝＝sinx＋cosx
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
左边＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ
＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·tan2θ＝右边

1.2.3三角函数的诱导公式（1）
四、 教学目标：
1、知识与技能
（1）理解诱导公式的推导方法；
（2）掌握诱导公式(一)-----(四)，并运用之进行三角函数式的求值、化简以及其它简单的三角函数问题；
2、过程与方法
通过图形对称的角度结合定义导出三角函数的诱导公式；通过师生一起对典型例题的探讨，使学生体验和理解数学推理思维方式。通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
3、情感、态度与价值观
（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
二、教学重、难点
重点: 诱导公式的推导及应用。
难点: 相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三、学法与教学用具
学法：自主、讨论、体验、感悟
教具:多媒体、三角板
四、教学设想
（一）创设情境
1、问题1：我们已经知道锐角及轴线角的三角函数值（非特殊角可用数表或计算器计算）但实际应用中往往碰到其它的一些角的函数值的计算问题. 但实际应用中往往碰到其它的一些角的函数值的计算问题.如：象的函数值如何求呢？
我们只要能把这些角的三角函数化为锐角的三角函数就能求任意角的三角函数值了！
2、问题2：你能将任意角的三角函数化成与0°到360°间的某角的三角函数吗?
3、问题3：终边相同的角三角函数值有什么关系？
（二）探索新知
1. 诱导公式公式一
由终边相同的角三角函数值相同，得到：
诱导公式一

说明：①终边相同的角的同一三角函数值相等；
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
2. 诱导公式公式二
问题4：求值① ②

要解决上述问题，我们可以先来探求和之间的三角函数值的关系。它们的终边关于轴对称。那么我们来研究终边关于轴对称的三角函数值的关系：
x
y
O
P′
P
M
角-b的终边
角a的终边
如图，设角a、b的终边分别与单位圆交于,则点和点关于轴对称。根据三角函数的定义，,.故有，从而，。

而和的终边关于轴对称是上述特殊情况，故有
诱导公式二

由公式二得：；
3. 诱导公式公式三、四
问题5：类比公式二的研究方法，探究下列问题：
（1）终边关于轴对称的两角的三角函数值的关系；
（2）终边关于原点对称的两角的三角函数值的关系。
x
O
P
P′′′
角a的终边
M
M′
角b的终边

若角a、b的终边关于y轴对称，
同理可得sinb＝sina，cosb＝－cosa ，
tanb=－tana
而p－a与a是关于y轴对称的，故有
诱导公式三

x
y
O
P
P′
角a的终边
M
M′
角b的终边

若角a、b的终边关于原点对称，
同理可得sinb＝－sina，cosb＝－cosa ，
tanb=tana
而p＋a与a是关于原点对称的，故有

诱导公式四

思考1 公式四可以用公式二、公式三推导吗？

sin(p＋a) = sin[p－(-a)]= sin(-a)= -sina

思考2 公式二、三、四有什么共同的特征？
公式二、三、四可用一句话概括：函数名不变，符号看象限
说明：以上公式对角度制下的角仍适用，只需将p换为180°。
（三）学以致用
例1 求值：
①sin p ② cosp ③ tan(-1560°)

例2 判断下列函数的奇偶性：
① ②

例3 化简下列各式：
①
②
③ （n∈Z)
④

答案