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误差与有效数字
武汉市第六中学物理教研组　　朱克生
物理实验离不开误差分析和测量值与计算值的有效数问题。本文主要目的是了解误差的有关概念，并对测量值与计算值的有数数字的保留个数做一个定量的描述。
一、误差
1、误差的定义
测量值与被测物体的真实值之间的差异叫误差。误差是绝对不能避免的，但是可以减小。
2、误差的分类
（1）、从误差来源上分为偶然误差与系统误差。
①偶然误差是由于实验人和读数的不准确等偶然因素造成的。它的特点是：当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用取平均值的方法来减小偶然误差。
比如长度的测量，多次测量同一个物体的长度，估计值就会或大或小，为了减小误差可以取平均值。
②系统误差是由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。系统误差的特点：多次重复同一测量的结果总是大于（或小于）被测量的真实值，呈现单一倾向。比如采用打点计时器来验证机械能守恒定律，由于空气阻力和计时器与纸带的摩擦，造成物体增加的动能总比物体减小的重力势能小。
（2）、从误差分析上分为绝对误差与相对误差。
①绝对误差，测量值与真实值之差。注意：绝对误差有正负之分的。比如长度的测量，要估计到最小分度的下一位，估读总是不准确的，测量值有时比真实值大，有时比真实值小，所以绝对误差有正有负，但绝对误差的大小一般不大于最小分度值（天平指感量）。
②绝对误差的绝对值与测量值的百分比称为相对误差。如果绝对误差用Δx表示，测量值用x表示，则相对误差就是η=。严格讲，式中分母应为真实值。实验估算时则用测量值代替。（人教版高中物理必修一P99）
绝对误差由于仪器本身的原因造成，一般很难减小，所以在相同的条件下为了提高测量的准确程度，应该考虑尽量减小相对误差。
比如用逐差法求匀变速直线运动的加速度。如果所给的长度有五段，此时应该舍去一段，我们就舍弃长度小的哪一段，因为在绝对误差相同的情况下，长度小的相对误差要大一些。
二、有效数字
1、定义：具体地说，是指在实验中实际能够测量到的数字。比如某一物体的长度测量值是13．3mm、0 ．0030m，则要由左向右从第一个不为零的数字数起分别有三位和两位有效数字。能够测量到的数字是包括最后一位估计的，不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做近似数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位近似数字的全部数字叫有效数字。前面的两个测量值中13mm和0.003m是可靠数字（即准确数），而0.3mm和0.0000m是估计的，为近似数字。
2、记录结果保留的有效数字
在高中阶段有两个测量工具是没有估计值的，它们分别是秒表与游标卡尺。其它测量工具记录测量结果有准确值和估计值两部分组成。比如最小分度是“1”的，要估读到最小分度的下一位。最小分度是“2”、“5”，分别按二分之一或五分之一估读到最小分度的同一位。
图1图2
比如图1， 0．6A量程电流表的最小分度是0.02A，记录结果就是0.51A，其中0.01A为估读的，因为指针达到或超过了一格的二分之一，没有超过的不多读。比如图2读0.50A。
图3图4
比如图3， 15V量程的电压表最小分度是0.5V，可将11.5V到12.0V之间分成五等分，然后就看到指针接近或达到一格的五分之三，记录结果是11.8V。而图4读12.5V。
3、计算结果保留的有效数字。
实验的结果往往是由若干直接测量值经过运算得到的。每一个直接测量值的误差都对最后结果产生影响，应当按照一定的数学方法来确定运算结果的有效数字。但是这种处理方法比较复杂，中学阶段不做要求。运算结果如果题目中有要求就按要求保留有效数字个数，如果没有要求一般取两位或三位有效数字就可以了。

《仪表维修工》（中国石油大学出版社）第69页