极坐标与球面坐标计算三重积分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,9,5,利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,柱面坐标、,柱面坐标系的坐标面,直角坐标与柱面坐标的关系、,柱面坐标系中的体积元素,柱面坐标系中的三重积分,球面坐标、,球面坐标系的坐标面,直角坐标与球面坐标的关系、,球面坐标系中的体积元素,球面坐标系中的三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分,设,M,(,x,y,z,),为空间内一点，则点,M,与数,r,、,q,、,z,相对应，,其中,P,(,r,q,),为点,M,在,xOy,面上的投影的极坐标,这里规定,r,、,q,、,z,的变化范围为：,0,r,，,0,q,2,，,z,x,y,z,O,r,z,P,(,r,q,),M,(,x,y,z,),x,y,q,三个数,r,、,q,、,z,叫做点,M,的,柱面坐标,r,r,0,一、利用柱面坐标计算三重积分,坐标面,r,r,0,，,q,q,0,，,z,z,0,的意义,：,x,y,z,O,q,q,0,z,z,0,r,0,q,0,z,0,设,M,(,x,y,z,),为空间内一点，则点,M,与数,r,、,q,、,z,相对应，,其中,P,(,r,q,),为点,M,在,xOy,面上的投影的极坐标,这里规定,r,、,q,、,z,的变化范围为：,0,r,，,0,q,2,，,z,三个数,r,、,q,、,z,叫做点,M,的柱面坐标,直角坐标与柱面坐标的关系：,柱面坐标系中的体积元素：,dv,rdrd,q,dz,柱面坐标系中的三重积分：,x,y,z,O,r,z,P,(,r,q,),M,(,x,y,z,),x,y,q,x,2,y,2,4,2,解 闭区域,W,可表示为：,r,2,z,4,，,0,r,2,，,0,q,2,于是,z,x,2,y,2,或,z,r,2,4,x,y,z,O,例,1,二、利用球面坐标计算三重积分,这样的三个数,r,、,j,、,q,叫做点,M,的球面坐标,设,M,(,x,，,y,，,z,),为空间内一点，则点,M,与数,r,、,j,、,q,相对应,，,其中,r,为原点,O,与点,M,间的距离，,j,为有向线段 与,z,轴正向所夹,的角，,q,为从正,z,轴来看自,x,轴按逆时针,方向转到有向线段 的角,这里,r,、,j,、,q,的变化范围为,0,r,，,0,j,，,0,q,2,x,y,z,O,z,P,M,(,x,y,z,),x,y,q,r,j,坐标面,r,r,0,，,j,j,0,，,q,q,0,的意义：,x,y,z,O,r,q,j,点的直角坐标与球面坐标的关系：,球面坐标系中的体积元素：,dv,r,2,sin,j,drd,j,d,q,柱面坐标系中的三重积分：,x,y,z,O,z,P,M,(,x,y,z,),x,y,q,r,j,例,2,求半径为,a,的球面与半顶角,a,为的内接锥面所围成的立,体的体积,x,y,z,O,a,2,a,例,2,求半径为,a,的球面与半顶角,a,为的内接锥面所围成的立,体的体积,解 该立体所占区域,W,可表示为：,0,r,2,a,cos,j,，,0,j,a,，,0,q,2,于是所求立体的体积为,x,y,z,O,a,2,a,r,j,例,3,求均匀半球体的重心,解 取半球体的对称轴为,z,轴，,原点取在球心上，又设球半径为,a,a,x,y,z,O,q,j,r,显然，重心在,z,轴上，故,x,y,0,解 取球心为坐标原点，,z,轴与轴,l,重合，又设球的半径为,a,，,例,4,求均匀球体对于过球心的一条轴,l,的转动惯量,则球体所占空间闭区域,W,可,用不等式,x,2,y,2,z,2,a,2,来表示,I,z,所求转动惯量为,x,y,z,O,a,