轴对称图形基本概念.docx

【本讲教育信息】
一、 教学内容：
1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质。
3. 线段的垂直平分线的性质及判定
4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线
5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。

二、 知识要点：
1. 基本概念
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）

3. 线段的垂直平分线的性质及判定
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4. 尺规作图
（1）如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线
① 分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，② 作直线CD。
CD就是线段AB的垂直平分线。

5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

三、 重点难点：
1. 重点：①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标轴对称的点的坐标特点。
2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。

【考点分析】
中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。 试题的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。

【典型例题】
例1.  如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？

分析：每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。 要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。
解：不是。 有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（   ）
       ①AD＝BD；        ②AC＝BC；         ③∠A＝∠B；             ④∠ACD＝∠BCD；   
⑤∠ADC＝∠BDC＝90°
       A.  2个             B.  3个                     C.  4个                    D. 5个

分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。
解：D
评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。

例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。
（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。
分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。
解：（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。
评析：点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。

例4. （2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。
（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）。
分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得0＜5x＜26，即得x的取值范围。 对于第二小题根据图形得AP＝BM＝26－5x，而AM＝AP＋PM，PM＝x。
解：（1）由折纸过程知：0＜5x＜26，∴0＜x＜。
（2）∵图④是轴对称图形，
∴AM＝＋x＝13－x，即点M与点A的距离是（13－x）cm。
评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°，由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。

例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。
分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。
解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；
（2）画出点B关于直线l的对称点B'：
（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

评析：画已知图形关于某直线的对称图形：①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

例6. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？

分析：在河岸l上找一点C，使AC＋BC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。
解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。
（1）作点B关于直线l的对称点，
（2）连结，交直线l于点C，
点C就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）

评析：此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。 依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。

【方法总结】
本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。 在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。 在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、 选择题
1. 下列说法错误的是                                                                                          （   ）
A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称
C. 轴对称图形的对称轴至少有一条
D. 线段是轴对称图形
2. 轴对称图形的对称轴是                                                                                   （   ）
A. 直线         B. 线段         C. 射线         D. 以上都有可能
3. 下面各组点关于y轴对称的是                                                                         （   ）
A. （0，10）与（0，－10）     B. （－3，－2）与（3，－2）
C. （－3，－2）与（3，2）     D. （－3，－2）与（－3，2）
*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是 （   ）
A. 一条线段                                     B. 两条相交直线
C. 有公共端点的两条相等的线段      D. 有公共端点的两条不相等的线段
5. （2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为     （   ）
A. 30°                 B. 50°                 C. 90°                 D. 100°

6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是  （   ）

*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是    （   ）
A. 150°               B. 300°               C. 210°               D. 330°

**8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。 小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，。 若与P重合，则n的最小值是   （   ）
A. 5               B. 6               C. 7               D. 8

二、 填空题
9. （2006年宜昌）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是__________。
10. 如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：
（1）两组对应点__________和__________；
（2）两组对应线段__________和__________；
（3）两组对应角__________和__________。

11.  点A（－5，－6）与点B（5，－6）关于__________对称。
*12.（2007年四川内江）已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，则m＝__________，n＝__________。

三、 解答题
13. 画出下列各图形的所有对称轴。

14. 如图所示，作出△ABC关于直线l的对称三角形A'B'C'。

**15. （1）回答问题：①到线段两端点的距离相等的点在__________上；②到角的两边距离相等的点在__________上。
（2）根据（1）中的结论作图。
如图所示，求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边的距离相等。

**16. 如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD的周长为17cm，求△ABC的周长。

四、 应用与探究题
17. 观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？你是如何验证的？

**18. 如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

【试题答案】
一、 选择题
1.  B   2.  A   3.  B   4。 D   5。 D   6。 D   7。 B   8。 B

二、 填空题
9.  BA629
10. 答案不唯一，（1）A与D，B与E（2）AB与DE，AC与DF（3）∠A与∠D，∠B与∠E
11. y轴           12. 3，－4

三、 解答题
13. 如图所示：

14. 如图所示：

15. （1）①这条线段的垂直平分线；②这个角的平分线。 （2）①连结CD，②作线段CD的垂直平分线a，③作∠AOB的平分线OM，OM交a于点P。 点P就是所求作的点。
16. 解：∵DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，AE＝BE。 ∵AE＝5cm，∴BE＝5cm，∴AB＝AE＋BE＝10cm。 ∵△ABC的周长＝CA＋CD＋DB＋AB，△ACD的周长＝CA＋CD＋AD＝CA＋CD＋DB＝17cm，∴△ABC的周长＝17＋10＝27cm。

四、 应用与探究题
17. 将这些图形分别沿图中的虚线对折，如果折叠后两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条虚线就是它的对称轴；如果折叠后两边不能够完全重合，那么这条虚线就不是它的对称轴（不一定不是轴对称图形，如图（2）不是轴对称图形，图（3）是轴对称图形）。 用上述方法验证得：图（1）和（3）中的虚线是它们各自的对称轴，图（2）和（4）中的虚线不是它们各自的对称轴。
18. 如图所示，①作点B关于直线l的对称点，②连结，交直线l于点C.  点C就是所求的点。