三角向量1.doc

江苏省栟茶高级中学2015届高三数学热点专题训练
三角与向量1
班级________________姓名__________________学号__________________
一、填空题
1. 已知是方程的一个解，，则
2. △ABC中，，，，则 5 ．
3. 设，若在上关于x的方程有两个不等的实根
等于或.
4.设向量，，其中，若，则 .
5.已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则___2___.
6.在中，若，则= .
7. 已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，，则的值为 12 .
8.在中，角、、的对边分别为、、，且，则____.
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC的面积为20，则△ABC的最大角的正切值是________．
10．= 【答案】2
11. 在锐角三角形中,,．若, 求则=
12.在△ABC中，A＝60°，M是AB的中点，若AB＝2，BC＝2，D在线段AC上运动，则·的最小值为________．
13.设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为_6:5:4__.
14.为单位圆上的弦，为单位圆上的动点，设的最小值为，若的最大值满足，则的取值范围为 .

二、解答题
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角和钝角的终边分别与单位圆交于,两点.
(Ⅰ)若点的横坐标是,点的纵坐标是,求的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣=, 求的值.

【答案】解:(Ⅰ)根据三角函数的定义得,
, .
∵的终边在第一象限,∴.
∵的终边在第二象限,∴ .
∴==+=.
(Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=||=||,
又∵,
∴, ∴.
方法(2)∵,
∴= .

16．在△ABC中，满足的夹角为 ，M是AB的中点
（1）若，求向量的夹角的余弦值
（2）若，在AC上确定一点D的位置,使得达到最小，并求出最小值.
【答案】（1）设
（2）因为，由余弦定理可得：
M是AB的中点，所以AM=1,因为D是AC上一点，设，所以
=
所以当时，即D距A点处取到最小，最小值为

17. 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且3cos Acos C(tan Atan C－1)＝1.
(1)求sin的值；
(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．
解　(1)由3cos Acos C(tan Atan C－1)＝1得
3cos Acos C＝1，
∴3(sin Asin C－cos Acos C)＝1，
∴cos(A＋C)＝－，
∴cos B＝，
又0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝－，
∴sin＝sin 2Bcos －cos 2Bsin
＝·－·
＝.
(2)由余弦定理得cos B＝＝，
∴＝，
又a＋c＝，b＝，∴ac＝，
∴S△ABC＝acsin B＝.

18.已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴．
(Ⅰ)求函数的解析式，求函数的递增区间；
(Ⅱ)若，且，求的值．

解：(1) 由题意，＝－＝，∴ T＝π.
又ω＞0，故ω＝2，∴ f(x)＝2sin(2x＋φ)．…………………2分
由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
又－＜φ＜，∴ φ＝－，∴ f(x)＝2sin(2x－)．…………………5分
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．…………………7分
(2) 依题意得2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，…………………8分
∵ ＜α＜， ∴ 0＜2α－＜.
∴ cos(2α－)＝＝＝，…………………10分
f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]．
∵ sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，
∴ f(＋α)＝…………………14分

19.在△ABC中,为三个内角为三条边,,且
(I)判断△ABC的形状;
(II)若,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)解:由及正弦定理有:
∴或若,且,∴,;∴,则,∴三角形
(Ⅱ)∵ ,∴,∴,而,∴,∴,∴

20.设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c. 已知C=,acosA=bcosB.
(1)求角A的大小;
(2)如图,在△ABC的外角∠ACD内取一点P,使得PC=2.过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN,垂足分别是M、N.设∠PCA=α,求PM+PN的最大值及此时α的取值.
（第15题）

【答案】解(1)由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,
（第15题）

即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),
所以有A=B或A+B=
又因为C=,得A+B=,与A+B=矛盾,所以A=B,
因此A= [来源:Zxxk.Com]
(2)由题设,得
在Rt△PMC中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα;
在Rt△PNC中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB)
=2sin[π-(α+)]=2sin (α+),α∈(0,).
所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+).
因为α∈(0,),所以α+∈(,),从而有sin(α+)∈(,1],
即2sin(α+)∈(,2].
于是,当α+=,即α=时,PM+PN取得最大值2.