2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(四川卷)理科与答案(22).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

2013·四川卷(理科数学)

一、选择题
1． 设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　)
A．{－2}　　B．{2}　　C．{－2，2}　　D．
1【答案】．A　[解析] 由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．
2． 如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是(　　)

图1－1
A．A 　B．B 　C．C 　D．D
【答案】2．B　[解析] 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称．
3． 一个几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的直观图可以是(　　)

图1－2

图1－3
3【答案】．D　[解析] 根据三视图原理，该几何体上部为圆台，下部为圆柱．
4． 设x∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A，2x∈B，则(　　)
A．p：x∈A，2xB
B．p：xA，2xB
C．p：xA，2x∈B
D．p：x∈A，2xB
4【答案】．D　[解析] 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.

图1－4
5． 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
5【答案】．A　[解析] 由图知＝＋＝，故周期T＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f＝2，得sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.
6．， 抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. 　B. 　C．1 　D.
6【答案】．B　[解析] 抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，故点F到x±y＝0的距离d＝＝.
7．，， 函数y＝的图像大致是(　　)

图1－5
7【答案】．C　[解析] 函数的定义域是{x∈|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；
当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．
8． 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)
A．9 　B．10 　C．18 　D．20
8【答案】．C　[解析] 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg a－lg b共计A＝20个，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18个．
9． 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
A. B.
C. D.

9【答案】．C　[解析] 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.
根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝.
10．， 设函数f(x)＝(a∈，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是(　　)
A．[1，e] B．[e－1－1，1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
10【答案】．A　[解析] 因为y0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y0∈[－1，1]，如果f(y0)＝c＞y0，则f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不可能有f(f(y0))＝y0.
同理，当f(y0)＝d＜y0时，则f(f(y0))＝f(d)＜f(y0)＝d＜y0，也不可能有f(f(y0))＝y0，因此必有f(y0)＝y0，即方程f(x)＝x在[－1，1]上有解，即＝x在[－1，1]上有解．显然，当x＜0时，方程无解，即需要＝x在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得ex＋x－a＝x2，故a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1.
当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0，
当x∈时，ex＞＞1，0>－2x＋1≥－1，
故g′(x)＞0.
综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．
二、填空题
11． 二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
11【答案】．10　[解析] 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C＝10.
12． 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
12【答案】．2　[解析] 根据向量运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.
13．，， 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
13【答案】.　[解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.

解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.
14．， 已知f(x)是定义域为的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
14【答案】．(－7，3)　[解析] 当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．
(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)
15．，， 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：
①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
15【答案】．①④　[解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；
对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；
对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；
对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．
三、解答题
16．， 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
16【答案】．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，
所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0.
解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.
17．，， 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17【答案】．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0<A<π，得sinA＝.
由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.
由题意知a>b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||cosB＝.
18．， 某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

图1－6
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)

运行

次数n
输出y的值

为1的频数
输出y的值

为2的频数
输出y的值

为3的频数

30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)

运行

次数n
输出y的值

为1的频数
输出y的值

为2的频数
输出y的值

为3的频数

30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
18【答案】．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝，
所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：

输出y的值

为1的频率
输出y的值

为2的频率
输出y的值

为3的频率

甲

乙

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝C××＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C××＝，
故ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
P

所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.

19．，，， 如图1－7所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．

图1－7

19【答案】．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
由已知，AB＝AC，D是BC的中点．
所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)解法一：
联结A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，联结AF.
由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P为AD的中点，所以M为AB中点，
且AP＝，AM＝1，
所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.
从而AE＝＝，AF＝＝，
所以sinθ＝＝.
所以cosθ＝＝＝.
故二面角A－A1M－N的余弦值为.
解法二：
设A1A＝1，如图，

过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz(点O与点A1重合)．
则A1(0，0，0)，A(0，0，1)．
因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，又AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，
故可得M(，，1)，N(－，，1)，
所以＝，＝(0，0，1)，＝(，0，0)．
设平面AA1M的一个法向量为1＝(x1，y1，z1)，
则即
故有
从而
取x1＝1，则y1＝－，所以1＝(1，－，0)．
设平面A1MN的一个法向量为2＝(x2，y2，z2)，则
即
故有
从而
取y2＝2，则z2＝－1，所以2＝(0，2，－1)．
设二面角A－A1M－N的平面角为θ，又θ为锐角，
则cos θ＝＝
＝.
故二面角A－A1M－N的余弦值为.
20．， 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
20【答案】．解：(1)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝＋＝2 .
所以a＝，
又由已知，c＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得
x2＝.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0<x2<，
即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，
故点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，
x∈.
21．，， 已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，
B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1<x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；
(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
21【答案】．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.
因为x1<x2<0，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2<0，2x2＋2>0.
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，
当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．
所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.
(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0<x2.
当x1<0时，函数f(x)的图像在点(x1，f(x1))处的切线方程为
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，
即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是

由①及x1<0<x2，知－1<x1<0.
由①②得，a＝x＋ln－1＝x－ln(2x1＋2)－1.
设h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1<x1<0)，
则h′(x1)＝2x1－<0.
所以，h(x1)(－1<x1<0)是减函数．
则h(x1)>h(0)＝－ln 2－1，
所以a>－ln 2－1.
又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，
所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

13