2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(新课标全国卷A)理科与答案(35).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷A）
数学（理科）解析与答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合则个数为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
[答案]．B　[解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
（2）
（A） （B） （C） （D）
[答案]．A　
[解析] (1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8.
（3）已知向量
（A） （B） （C） （D）
[答案]．B　[解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
（4）已知函数
（A） （B） （C） （D）
[答案]．B　[解析] 对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即函数f(2x＋1)的定义域为.
（5）函数的反函数
（A） （B） （C） （D）
[答案]．A　[解析] 令y＝log2，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)．
（6）已知数列满足
（A） （B） （C） （D）
[答案]．C　[解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．
（7）
（A） （B） （C） （D）
[答案]．D　[解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.
（8）椭圆斜率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
[答案]．B　[解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－，所以kPA1＝－∈.
（9）若函数
（A） （B） （C） （D）
[答案]．D　[解析] f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.
（10）已知正四棱锥的正弦值等于
（A） （B） （C） （D）
[答案]．A　[解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3 ，所以CE＝＝＝，
所以sin∠CDE＝＝.
（11）已知抛物线

（A） （B） （C） （D）
[答案]．D　[解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.
（12）已知函数
（A） （B）
（C） （D）
[答案]．C　[解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsin x＝2(1－sin2x)sin x，令t＝sin x∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知 .
[答案]．2 　[解析] cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2 .
（14）个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）
[答案]．480　[解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．
（15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .
[答案].　[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于＝，MB的斜率等于＝4，故实数a的取值范围是.

（16）已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .
[答案]．16π　[解析] 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝ ，设球的半径为r，则DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
等差数列的前项和为的通项式.
[答案]．解：设{an}的公差为d. 由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4. 又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
18．（本小题满分12分）
设
（I）求
（II）若
[答案]．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以
cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sin Asin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥都是等边三角形.
（I）证明：
（II）求二面角

[答案]．解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
联结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
故CD⊥平面PBD.
又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连FG.
则FG∥CD，FG⊥PD.
联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．
联结AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
设AB＝2，则AE＝2 ，EG＝PB＝1，
故AG＝＝3，
在△AFG中，FG＝CD＝，AF＝，AG＝3.
所以cos∠AFG＝＝－.
因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos.
解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

设||＝2，则
A(－，0，0)，D(0，－，0)，
C(2 ，－，0)，P(0，0，)，
＝(2 ，－，－)，＝(0，－，－)，
＝(，0，)，＝(，－，0)．
设平面PCD的法向量为1＝(x，y，z)，则
1·＝(x，y，z)·(2 ，－，－)＝0，
1·＝(x，y，z)·(0，－，－)＝0，
可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝(0，－1，1)．
设平面PAD的法向量为2＝(m，p，q)，则
2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，
2·＝(m，p，q)·(，－，0)＝0，
可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝(1，1，－1)．
于是cos〈，2〉＝＝－.
由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π－arccos.

20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）表示前局中乙当裁判的次数，求的数学期望.
[答案]．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0，1，2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
21．（本小题满分12分）
已知双曲线离心率为直线
（I）求；
（II）
证明：
[答案]．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2 ，代入①并化简得
(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，
x1＋x2＝，x1x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

22．（本小题满分12分）
已知函数
（I）若；
（II）设数列

[答案]．解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.
若λ＜，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.
若λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.
综上，λ的最小值是.
(2)令λ＝.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，
即＞ln (1＋x)．
取x＝，则＞ln.
于是a2n－an＋＝
＝
＞ln
＝ln 2n－ln n
＝ln 2.
所以a2n－an＋＞ln 2.

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷A）
数学（理科）答案
一、选择题
1－5 BABBA 6－10 CDBDA 11－12 DC
二、填空题
13. 14. 480 15. 16.
三、解答题
17．解：设的公差为. 由得，故或.
由成等比数列得. 又，，，
故.若，则，所以，此时，不合题意；若，则，解得或. 因此的通项公式为或.
18. 解：（1）因为，所以，由余弦定理得
，因此.（2）由（1）知，所以

.
故或，因此或.
19.解：(1) 取的中点，连接，则为正方形.
过作平面，垂足为.连结.
由和都是等边三角形知，所以，
即点为正方形对角线的交点，故，从而.
因为是的中点，是的中点，所以，因此.
（2）解法一：由（1）知,,,故平面.
又平面，所以.
取的中点，的中点,连，则，.
连接，由为等边三角形可得.所以为二面角的平面角. 连结，则.又，所以.
设，则，故.
在中,,,
所以.
因此二面角在大小为.

解法二：由（1）知，两两垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设, 则,,
,, ,,
, . 设平面的法向量，则
,，
可得，.取，得，故.
设平面的法向量，则
， ，
可得.取，得，，故.
于是.由于等于二面角的平面角，所以二面角在大小为.
20. 解：（1）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”, 表示事件“第4局甲当裁判”.
所以，.
(2) X的可能取值为0,1,2. 记表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”. 则
，
，
.
.
21. 解：由题设知，即，故. 所以的方程为. 将 代入上式，求得.由题设知，解得，所以，.
（2）由（1）知，，的方程为（*）
由题意可设的方程为，，代入（*）并化简得
.
设，则，，.
于是
,
.
由得，即，故，解得
，从而.
由于 ，
.
故，.
因而，所以成等比数列.
22.解：（1）由已知，.
若，则当时，，所以.
若，则当时，，所以当时，. 综上，的最小值是.
（2）令.由（1）知，当时，，即，取，则，于是
.
所以.

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