2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(四川卷)理科与答案(22).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）2013四川卷(理科数学)一、选择题1 设集合Ax|x20，集合Bx|x240，则AB()A2B2C2，2D1【答案】A解析 由已知，A2，B2，2，故AB22 如图11所示，在复平面内，点A表示复数z，则图11中表示z的共轭复数的点是()图11AA BB CC DD【答案】2B解析 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称3 一个几何体的三视图如图12所示，则该几何体的直观图可以是()图12图133【答案】D解析 根据三视图原理，该几何体上部为圆台，下部为圆柱4 设x，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则()Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB4【答案】D解析 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.图145 函数f(x)2sin (x)的部分图像如图14所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，5【答案】A解析 由图知，故周期T，于是2.f(x)2sin(2x)再由f2，得sin1，于是2k(k)，因为，取k0，得.6， 抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.6【答案】B解析 抛物线y24x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x21的渐近线为xy0，故点F到xy0的距离d.7， 函数y的图像大致是()图157【答案】C解析 函数的定义域是x|x0，排除选项A；当x0时，x30，3x10，排除选项B；当x时，y0且y0，故为选项C中的图像8 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是()A9 B10 C18 D208【答案】C解析 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg alg b共计A20个，但其中lg 9lg 3lg 3lg 1，lg 3lg 9lg 1lg 3，故不同的值只有18个9 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.9【答案】C解析 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为.10， 设函数f(x)(a，e为自然对数的底数)若曲线ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，则a的取值范围是()A1，e Be11，1C1，e1 De11，e110【答案】A解析 因为y0sin x01，1，且f(x)在1，1上(有意义时)是增函数，对于y01，1，如果f(y0)cy0，则f(f(y0)f(c)f(y0)cy0，不可能有f(f(y0)y0.同理，当f(y0)dy0时，则f(f(y0)f(d)f(y0)dy0，也不可能有f(f(y0)y0，因此必有f(y0)y0，即方程f(x)x在1，1上有解，即x在1，1上有解显然，当x0时，方程无解，即需要x在0，1上有解当x0时，两边平方得exxax2，故aexx2x.记g(x)exx2x，则g(x)ex2x1.当x时，ex0，2x10，故g(x)0，当x时，ex1，02x11，故g(x)0.综上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，1上为增函数，值域为1，e，从而a的取值范围是1，e二、填空题11 二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)11【答案】10解析 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C10.12 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_12【答案】2解析 根据向量运算法则，2，故2.13， 设sin 2sin ，则tan 2的值是_13【答案】.解析 解法一：由sin 2sin ，得2sin cos sin ，又，故sin 0，于是cos ，进而sin ，于是tan ，tan 2.解法二：同上得cos ，又，可得，tan 2tan .14， 已知f(x)是定义域为的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_14【答案】(7，3)解析 当x20时，f(x2)(x2)24(x2)x24，由f(x2)5，得x245，即x29，解得3x3，又x20，故2x3为所求又因为f(x)为偶函数，故f(x2)的图像关于直线x2对称，于是7x2也满足不等式(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)15， 设P1，P2，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到P1，P2，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，Pn点的一个“中位点”例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点则有下列命题：若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)15【答案】解析 对于，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，正确；对于，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 16，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，错误；对于，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，错误；对于，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，正确三、解答题16， 在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和16【答案】解：设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0.解得a14，d0或a11，d3.即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn4n或Sn.17， 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos Bsin (AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影17【答案】解：(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB，则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4 )252c225c，解得c1或c7(舍去)，故向量在方向上的投影为|cosB.18， 某算法的程序框图如图16所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生图16(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1，2，3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望18【答案】解：(1)变量x是在1，2，3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3，所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量可能的取值为0，1，2，3.P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，故的分布列为0123P所以，E01231.即的数学期望为1.19， 如图17所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值图1719【答案】解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点所以，BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)解法一：联结A1P，过A作AEA1P于E，过E作EFA1M于F，联结AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，则A1MAE.所以A1M平面AEF，则A1MAF.故AFE为二面角AA1MN的平面角(设为)设AA11，则由ABAC2AA1，BAC120，有BAD60，AB2，AD1.又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P；在RtA1AM中，A1M.从而AE，AF，所以sin.所以cos.故二面角AA1MN的余弦值为.解法二：设A1A1，如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)则A1(0，0，0)，A(0，0，1)因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，又ABAC2AA1，BAC120，故可得M(，1)，N(，1)，所以，(0，0，1)，(，0，0)设平面AA1M的一个法向量为1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以1(1，0)设平面A1MN的一个法向量为2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以2(0，2，1)设二面角AA1MN的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角AA1MN的余弦值为.20， 已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程20【答案】解：(1)由椭圆定义知，|PF1|PF2|2 .所以a，又由已知，c1，所以椭圆C的离心率e.(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化简，得x2.因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2，即x.又满足10(y2)23x218，故点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，x.21， 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围21【答案】解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1，0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2.因为x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2，知1x10.由得，axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10)，则h(x1)2x10.所以，h(x1)(1x1h(0)ln 21，所以aln 21.又当x1(1，0)且趋近于1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，)13