直线和直线图形PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,计算机图形学,武汉大学电子信息学院 王泉德,qdwang,1,.,第二章 直线,在光栅显示器的荧光屏上生成一个图形，实质上是往帧缓存寄存器的相应单元中填入数据。,计算机生成图形时，需要绘制大量的直线，设计快速有效的直线绘制算法意义重大。,一般来讲，水平、垂直直线和对角线能准确地画出，但要准确绘制一条斜线并不容易。,在光栅显示器上画（,x1,y1,）到（,x2,y2,）的直线，实质上是确定最佳逼近直线的象素序列。,2,.,（,1,）生成的直线要直,选择最靠近直线的象素点来逼近直线。,理想绘制效果,1,、绘制直线的要求,实际绘制效果,3,.,（,2,）起点和终点要准确,：,在绘制直线的过程中由于受精度的影响，直线的终点与原终点有一个累积误差，导致直线的终点不准。,4,.,（,3,）直线的粗细要均匀,由于选点不均匀，造成直线粗细不均匀，直观上反映出直线的亮度不均匀。,5,.,（,4,）直线宽度应该与线段的长度和斜率无关：,要取得均匀的线段宽度，应该保持每单位长度的点数是常数。,（,5,）显示线段的速度应快：,直线的绘制是生成计算机图形的基础，其绘制速度直接影响到计算机图形生成的效率，常采用硬件来实现。,6,.,2,、直线的方程,若其始坐标和终点坐标分别为：,则斜率为,截距为,(1),(2),(3),直线的绘制算法以直线方程（1）、（2）和（3）式为基础。,直线的点斜式方程为：,对任何沿直线给定的x的增量x，对应的y增量y：,ymx,同样，对应于y的增量y，x的增量x为：,x(1/m)y,7,.,3,、逐点比较法,（,1,）算法的基本思想：,在绘制直线的过程中，,每绘制一个点，就与原直线进行比较，根据比较的结果决定下一步的走向，这样一步一步逼近直线。,保证要绘制的点尽可能的靠近直线而不发生远离直线的趋向。,8,.,（,2,）绘制思路,由当前点到下一个点的走法是只在,X,方向或,Y,方向走一步。,计算当前点偏差：,=,tg,-tg,K1,K2,1),=0,，点在直线上；,2),0,，点在直线上方，下一步走,X,方向；,3),0,，点在直线下方，下一步走,Y,方向。,9,.,可以简化为,根据 计算出偏差，然后确定下一步的走向。,初始：,则 =0；,第一步：,第二步：,假定起点为坐标原点偏差计算公式为：,(7,5),A,(0,0),10,.,偏差递推公式,1）时，走X方向一步，即,2）时，走Y方向一步，即,偏差计算公式为：,11,.,以上讨论的是起点为原点，,X,为最大步长方向的情况，对于起点是任意点，最大步长方向为其他情况下的绘制直线的偏差计算和偏差判别，可类似推导。,判别终点的方法：设立计数器，计数取,X,或,Y,方向的最大增量值（计长方向），在计长方向每走一步，计数器减,1,，只到计数器值为零为止。,12,.,2、,DDA,算法,(Digital Differential Analyzer),DDA,算法是建立在,微分方程,的基础上。,由 到 的直线段满足的微分方程为：,13,.,因此有,则有,令,有,14,.,DDA绘制的直线,1/15；,15,.,DDA,绘制直线的算法,if|,x,b,-x,a,|y,b,-y,a,|then,计算直线在,y,方向上的增量,：,length=|,y,b,-y,a,|,else,计算直线在,x,方向上的增量：,length=|,x,b,-x,a,|,计算,x,方向的单位增量,：,dx,=(,x,b,-x,a,)/length,计算,y,方向的单位增量：,dy,=(,y,b,-y,a,)/length,置初值：,x=,x,a,，,y=,y,a,for i=1 to length do begin,输出点,(,trunc(x,),trunc(y,),计算下一个点坐标,x=,x+dx,，,y=,y+dy,end,end of algorithm,16,.,3、Bresenham算法,算法的基本思想：,每次迭代在增量最大方向上走一步，,另一方向上是否也走，取决于计算出来的点与直线上的点,的误差,，根据误差决定是否走一步。即,x,方向的步长总是,1(,斜率小于,1,的情况,),，,y,方向是否有变化，取决于直线的理论值与假设点之间的误差值大小。,例如取,X,方向为最大增量方向，则有：,其中 1；,17,.,绘制的直线时点的选取,y,i,y,i+1,18,.,偏差计算,设偏差为,当 时，计算的点（实际直线上的点）在,中点的上方，取,当 0 时，计算的点（实际直线上的点）在,中点的下方，取,整理后，有,y,i,y,i+1,19,.,偏差的递推关系,误差,因为,有,偏差初值,0,=,m,0.5,20,.,将,乘以,2,x,记为,2,x,，则,同,有相同的符号，根据,的符号确定象素点的过程仍然正确。此时偏差的表示式做如下变动：,初始误差项：,0,2,x,0,2,y,-,x,；,积累误差,k,+1,k,m,修改为：,k,+1,2,x,k,+1,2,x,(,k,y,/,x,）,2,x,k,2,y,k,2,y,；,如果选取上面的象素点，积累误差还要减去,1,，修改为：,k,+1,2,x,（,k,+1,1,）,k,2,y,2,x,21,.,Bresenham,直线生成算法描述,计算,x,和,y,方向的增量：,dx,=|,x,b,-x,a,|,，,dy,=|,y,b,-y,a,|,计算递推公式的初值,d,1,:d=2dy-dx,计算两个单位增量,：,incr1=2dy,incr2=2(dy-dx),if(x,a,x,b,)then,置起点,为,x=,x,b,，,y=,y,b,，,置终点,为,x,e,=,x,a,y,e,=,y,a,else,置起点,为,x=,x,a,，,y=,y,a,，,置终点,为,x,e,=,x,b,，,y,e,=,y,b,输出起点,(x,y),while(x,x,e,)do,begin,x=x+1,if(d,0)then d=d+incr1,else y=y+1,，,d=d+incr2,输出,点,(x,y),end,end of algorithm,22,.,总结,前面所介绍的逐点比较法、数值微分法以及,Bresenham,算法，它们各有优缺点。因此在使用,不同的图形输出设备时要选用最适合于该设备,的方法，如在绘图仪中多采用逐点比较法，在点,迹技术的显示设备中多用,DDA,法和,Bresenham,算法。,23,.,4、直线的属性,任何影响图元显示方法的参数称为属性参数。,线段的基本属性有线型、宽度和颜色。,线型：,实线、虚线、点线等。,通过设置沿直线路径显示的实线线段的长度和间,距来修改画线算法，产生各种类型的直线。,24,.,线宽：,线刷子：,沿着生成直线时获得的象素点，移动一把具有一定宽度的“刷子”来实现。斜率,k,=1,，刷子设置为垂直方向，否则设置为水平方向,25,.,线的连接：,一定宽度的折线段时，线段的接头处会出现缺口，典型的处理方式有：尖头，圆头和方头三种,线头：,绘制具有宽度的线段，需要对线头进行处理，典型的线头有下述三种,26,.,27,.,第三章 二次曲线,圆也是图形系统中常用的元素。圆可以定义为,所有以距离中心位置 为给定值,r,的点集。,圆的方程为：,利用这个方程，我们可以沿,x,轴，从,到 以单位步长计算对应的,y,值，从而得到圆周上每点的位置。,可以利用圆的对称性：可以先绘制八分之一圆弧，再利用对称性绘制整个圆,28,.,1、中点画圆算法,考虑圆心在原点的圆。设函数：,故有 （,x,y),位于圆边界内,（,x,y),位于圆边界上,（,x,y),位于圆边界外,对上述函数在每个取点步骤上，对接近圆周的两个象素,点的中点进行测试来决定取点。,29,.,考虑一个四分之一圆弧,从,x=0,到,x=y,的情况（第一象限的上八分之一圆弧），圆的曲率从0变化到-1，在该段弧上的正,x,方向取单位步长，并确定每一步更接近圆弧的,y,的位置。,设已经取的点为 ，决策参数为：,以此来判断下一步 的点如何取。,是 还是 。,30,.,故有,中点位于圆边界内,中点位于圆边界上,中点位于圆边界外,31,.,递推决策函数,其中 的取值，决定于 的符号。,32,.,中点画圆,33,.,圆弧上点的对称关系,只画1/8圆，其余点通过对称关系求得,。,34,.,象限判别,在进行绘制圆弧曲线时，需要考虑轨迹点所在象限的情况，,因此需要进行象限的判别。对于在坐标轴上的点，需要根,据绘制圆的方向来决定。,A,B,C,D,35,.,2、Bresenham算法,仍然考虑圆心在原点的一个第一象限的圆弧 。,对于圆弧上的点,p(x,y),，其下一个可选择的点如图。,36,.,圆弧上点与该二点之间的关系,H、D,全在圆外；,H,在圆外，,D,在圆内；,H,在圆外，,D,在圆上；,H,、,D,全在圆内；,可以计算出这三点到圆心的距离与半径的差：,37,.,分析：,1）当 时，圆弧在,D,的上方，可以取的点是,H,或,D，,只要看,H,和,D,两个点，哪个与圆弧的距离近。,设：,时，,H,点距离圆弧近，,H,为可取的下一个点。,表示了,H,和,D,点到圆弧的距离之差。,时，,H,和,D,点均为可取的下一个点。,时，,D,点距离圆弧近，,D,为可取的下一个点。,当,38,.,2）当 时，圆弧在,D,的下方，可以取的点是,D,或,V，,只要看,D,和,V,两个点，哪个与圆弧的距离近。设：,时，,V,点距离圆弧近，,V,为可取的下一个点。,时，,V,和,D,点均为可取的下一个点。,时，,D,点距离圆弧近，,D,为可取的下一个点。,当,3)当 时，D点在圆上，取D点。,39,.,3、多边形逼近法,考虑绘制圆心在,(,x,c,y,c,),，半径为,r,的圆，一个第一象限的圆弧。对于内接正多边形顶点,P,i,(,x,i,y,i,),，其幅角为,i,，则：,下一个顶点,P,i,+1,坐标为：,只需要计算一次,sin(,),，,cos(,),，就可以递推计算其他顶点，计算一个顶点只需四次乘法。,40,.,3、二次曲线参数拟合法,研究二次曲线的参数方程以及通过已知的型值点构造,二次曲线的参数拟合方法。,二次曲线的参数方程为：,其中 是常数向量，是常数，则,r(t),表示了,二次曲线的轨迹,。,41,.,构造二次曲线,已知二次曲线上的三个型值点 ，当,t=0,时，过,点，且与 相切，当,t=1,时，过 点，且与,相切。根据已知条件，可以建立方程：,42,.,建立方程组,43,.,分类,1）抛物线,2）双曲线,3）椭圆弧,44,.,绘制曲线(步长为0.4),45,.,绘制曲线(步长为0.2),46,.,绘制曲线(步长为0.1),47,.,