重庆大学线性代数答案.doc

习题一解答
1、 填空 （3）设有行列式含因子的项为
答：或
（5）设，的根为
解：根据课本第23页例8得到
的根为
（6）设是方程的三个根，则行列式=
解：根据条件，比较系数得到，
；再根据条件，，；
原行列式=
（7）设 ，则=
解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.
（8）设，则=
解 将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=0.
=，，则

证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：
==
行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成

==
或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。
7、计算下列行列式：
（1）， （2）其中
（3）
（4）（5）
解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得
=
=.
（2）=
=
第行减去第行、
第行减去第行、…
第4行减去第3行、
第3行减去第2行、
第2行减去第1行得
(3)=
=
==
（4）将按第一行展开
=+
=
（5）+，其中
=
于是==
=
习题二解答

8题 设，求为正整数）
解 记，则，

20题 设，，为正整数，证明

证 因为，，所以
=
21题设，，，求。
解 因为，=，，所以
===
23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，，则
解 因,所以,
（7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且=
；；；
解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错.
解法二： 因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为
==
=
所以可逆，且=
24、设，（为正整数），证明.
证
所以.
推论：设均为阶方阵，若，则，
26、设均为阶方阵，且，，证明 可逆，并求其逆.
证 由得，代入得到=，于是
，，所以可逆，
27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵.
证 =，因为对任意的矩阵，均有=0，于是分别取=、、…，代入=0得到，，，….所以
为零矩阵
28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是.
证 若，则；反过来
设=，若=0
则，，…，，于是
习题三解答
第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则（ ）
线性相关.线性无关.
能由线性表示.能由线性表示.
解 因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关；
于是能由线性表示.答：
（5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（Ι）：
线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（ ）.
不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示，
不能由（Ι）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示，
能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示
能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示.
解 因为向量能由向量组线性表示，所以存在，使=++；因为不能由向量组线性表示，于是，=++，即能由（Ⅱ）线性表示.
假若能由（Ι）线性表示，则存在，使=++
代入=++得到能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择
7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关.
证 设++=， 即 =++ （1）
因为向量能由向量组线性表示，即=++ （2）
（1）+（2）得 =++
表示唯一得到 ，，，于是全为零，故
线性无关.
8、设向量组线性相关，线性无关，证明：
（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示
证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故能由线性表示，即存在使=+；
（2）假若能由线性表示，则存在，使=++；
将=+代入=++得到能由线性表示，于是线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示.
12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.
证 因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无关.
13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都能由它们线性表示.
证 设线性无关，为任一维向量. 向量组，一定线性相关，
于是能由线性表示；
反过来 若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向量组线性无关.
14、设向量组（Ι）：的秩为，向量组（Ⅱ）：的秩为，
向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明.
证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为，向量组（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性无关组线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组线性表示，于是向量组（Ⅲ）能由向量组，线性表示.故
是，中个线性无关的向量，于是，同样可以证明，因此.故.
15、设是矩阵，是矩阵，证明：.
证 设=，=，则=
根据第14题得到
16、设，都是矩阵，证明
证 设=，=，则+=而且能由线性表示.根据第14题，得到
17、设是矩阵，是矩阵，证明：
证 设=，=，=，于是
==
即能由线性表示，因此.同样可以证明故.

习题四解答：
6（4）　求的通解
解 ~，
，方程组有无穷多个解，解空间的维数是2，同解方程组为
，原方程组的通解为
7、当为何值时，非齐次线性方程组有解？并求其通解.
解　=第一行除以2后加到第二行、第三行；第一行除以.
~~.
当或时，，非齐次线性方程组有解.
当时，~~，原方程组同解于
,,通解.
当时，~~，原方程组同解于
,,通解.
8、 当为何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？此时求其通解.
解　=第二行减去第一行；第三行减去第一行的倍.
~~.
当且时，，有唯一解.
当时，，无解.
当时，，有无穷多解.~，原方程组同解于
,,通解.
9、当为何值时,非齐次线性方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解？此时求其通解.
第二行、第三行分别减去第一行
解=
~~.
当且时，，有唯一解.
当时，或者当时，，无解.
当时，，有无穷多解.
~，原方程组同解于，，通解.
10、设向量组,,, 试问：当满足什么条件时
（1）能由,,线性表示,且表示式唯一；
（2）不能由,,线性表示,
（3）能由,,线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.
分析：非齐次线性方程组+=，即
（1）只有一个解能由,,线性表示,且表示式唯一；
（2）无解不能由,,线性表示,
（3）有无穷多解能由,,线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.
解=~

当时，，能由,,线性表示,且表示式唯一.
当且时，不能由,,线性表示.
当，时，，有无穷多解. ~
原方程组同解于，，一般表示式
=+.
11、 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明 （1），线性无关；
（2），线性无关.
证 （1）假设，线性相关，由条件线性无关，则能由线性表示，即存在，使=，而是的解，则也是的解.矛盾，故，线性无关.
（2）设，即
+=，由，线性无关得，
，即全为零，所以
，线性无关.
12、设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解.证明它的通解为，其中
证 是的个线性无关的解，则，，是的个线性无关的解，因此，，为的一个基础解系，的通解为+
=
=
其中，
13、 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知是它的三个解向量，求该方程组的通解.
解 ，的基础解系中只有2个线性无关的解向量，
而，是的2个线性无关的解向量，于是的通解为，方程组的通解
14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个解向量，，满足+=，+=，+=，求它的通解
解 ，，的基础解系中只有两个解向量.因为
==，==是两个线性无关的解；=
该三元非齐次线性方程组的通解
15、 设，是阶方阵，且，证明
证 （1）当时，，可逆，则，即，，此时.
（2）当时，的基础解系中只有个线性无关的解向量，即的解向量组的秩为.设，由得，为的个解向量，所以向量组的秩.故.
17、设，是三阶非零矩阵，且，求
解 由、知、，于是，
，或，此时，，
18、设是矩阵，证明
分析 若能够证明与同解，则
证 设成立，则一定成立.
若，则，于是，即
故与同解，