山东省青岛市高三第二次模拟试题理科数学试题高三自评试题.doc

高三自评试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：锥体的体积公式为：,其中为锥体的底面积，为锥体的高.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,,如果,则等于
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】,因为，所以或，选C.
2．设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，，所以，所以虚部为2，选D.
3．“”是“对任意的实数,成立”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点到点和的距离之和，则，所以当时，有，所以不等式成立，此时为充分条件，要使恒成立，即恒成立，则有，即，综上，是成立的充分不必要条件，选B.
4．已知函数，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，因为，所以，所以，选A.
5．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，则；
③ 若，，，则；
④ 若，，，则．
其中错误命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③
【答案】B
【解析】根据线面垂直的性质和判断可知，②③正确，错误的为①④，选B.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，选B.
7．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.
8．以下正确命题的个数为
①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；
②函数的零点在区间内；
③已知随机变量服从正态分布，，则；
④函数的图象的切线的斜率的最大值是；
⑤线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①命题的否定为“任意的，”，所以不正确；②因为，又，，所以函数的零点在区间，所以正确；③根据正态发布的对称性可知,而，所以，正确；④函数的导数为，当且仅当，即时取等号，所以正确；⑤线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④有3个，选C.
9．设，则二项式展开式中不含项的系数和是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.
10．已知函数，，，那么下面命题中真命题的序号是
①的最大值为 ② 的最小值为
③在上是增函数 ④ 在上是增函数
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】因为，，所以。函数的导数为，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递增，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递减，所以①③正确，选A.
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的

A.外接球的半径为 B.体积为
C.表面积为 D.外接球的表面积为
【答案】D
【解析】由三视图可知，这是侧面,高的三棱锥，,所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为O半径为，则，在直角三角形中，,即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，选D.
12．已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点，若,则=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,直线过定点，,根据抛物线的定义可知B为AC的中点，所以，由，得，所以直线斜率，选A.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．若则 .
【答案】
【解析】。
14．已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的值为 .
【答案】
【解析】因为，所以,即三角形为直角三角形，所以,所以圆心到直线的距离为，又，所以。
15．设、满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
【答案】
【解析】目标函数几何意义为区域内动点P到原点的距离的平方，做出图象如图，由图象可知当点P在C点时到原点的距离最大，由，得此时C点坐标为，所以。
16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：

①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②⑤
【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。
第Ⅱ卷

三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知向量，设函数,若函数的图象与的图象关于坐标原点对称.
（Ⅰ）求函数在区间上的最大值,并求出此时的值；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角,若，，的面积为，求边的长．

18．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.
19．（本小题满分12分）甲居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，→→算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进）．
(Ⅰ）请你为其选择一条由到的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（Ⅱ）若记路线→→→中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列及．
20．（本小题满分12分）已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,且首项是中的最大数, .
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足，令，试比较
与的大小.
21．（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的极大值；
（Ⅱ）令（为实常数），试判断函数的单调性；
（Ⅲ）若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围.

22．（本小题满分14分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线同时满足条件：(ⅰ)过的焦点；(ⅱ)与交于不同两点、，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦、分别另交椭圆于、两点．当直线的斜率变化时，直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．

高三自评试题
数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
C D B A B B D C C A D A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 14. 15. 16．①②⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得：
………………………………………………………2分
所以 ………………………………………………3分
因为，所以
所以当即时，函数在区间上的最大值为.
……………………………………………6分
（Ⅱ）由得：
化简得：
又因为，解得： …………………………………………9分
由题意知：，解得，
又,所以

故所求边的长为. …………………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取的中点，连结，，
，，，
四边形为平行四边形， 从而，
面，面
面 ………………………………………………………………2分
，，
四边形为平行四边形
，且
又是正方形，，且
故为平行四边形，
面，面
面 ………………………………………………………………4分
，面面
面，面 ………………………………………6分
（Ⅱ）四边形为正方形, ,
，
由勾股定理可得：， ，
，面 ，
，
由勾股定理可得：， …………………………………8分
故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，
，所以，，，.
设面的法向量为，由
，令，则
设面的法向量为，则
则，令，则 …………………………10分
所以
设二面角的平面角为，
所以 ……………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记路段发生堵车事件为，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线
→→→中遇到堵车的概率为

……………………………………………………………………2分
同理：路线→→→中遇到堵车的概率为1－(··）=（小于） ………………………………………………………………………4分
路线→→→中遇到堵车的概率为（大于）
显然要使得由到的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线→→→，可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………6分
（Ⅱ）路线→→→中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．
，

，

，
.
所以的分布列为

…………………………………………………………9分
∴= ………………12分
20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）根据题设可得: 集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.
由此可得,对任意的,有
中的最大数为,即 …………………………………………2分
设等差数列的公差为,则,
因为, ,即
由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列
所以,由，所以…………5分
所以数列的通项公式为（） ………………………6分
（Ⅱ）
………………………7分

于是确定与的大小关系等价于比较与的大小
由，，，，
可猜想当时， …………………………………………………………9分
证明如下：
证法1：（1）当时，由上验算可知成立.
（2）假设时，，
则
所以当时猜想也成立
根据（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
当时，，当时 ………………………………12分
证法2：当时

当时，，当时 ………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）, 的定义域为;
由于，由,
当时，；当时，.
在上为增函数；在上为减函数，
从而. ………………………………………3分
（Ⅱ），
，………………………………………4分
① 当,即时，，
在上为增函数；…………………………………………………………5分
②当，即时，.
由,
,
（ⅰ）若，则， 时，，
在上为增函数；…………………………………………………………7分
(ⅱ)若，则，
时，；时，，
在上为增函数,在上为减函数.
综上可知：当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.
…………………………9分
（Ⅲ）由,
,,而，
要对任意，不等式均成立，必须：
与不同时为0. ………………………………………………………11分
因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，
即. …………………………………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知
、在抛物线上，易求 …………………2分
设：，把点（2，0）（，）代入得：

∴方程为 ………………………………………………………4分
（Ⅱ）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为,
由消去，得 ，
于是 ， …………① ……………………7分

即……②
由，即，得
将①、②代入（*）式，得 ，解得；
所以存在直线满足条件，且的方程为：或…………………9分
（Ⅲ）设直线的斜率为，则：，：
则　化简得：．
∵此方程有一根为，∴
同理可得………………………………………………11分
则
所以的直线方程为
令，则.
所以直线过轴上的一定点 ………………………………………………14分