选修2-1第一章1.2充分必要条件学案.doc

1.2 充分条件和必要条件（1）
【教学目标】
1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；
2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；
3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．
【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；
【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．
【教学过程】
一、复习回顾
1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：
（1）若,则; （2）若,则;
（3）若,则; （4）若,则
二、讲授新课
1.推断符号“”的含义：
一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:“”;
如果“若,则”为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:“”.
用推断符号“和”写出下列命题：⑴若，则；⑵若，则；
2．充分条件与必要条件
一般地，如果，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
由上述定义知“”表示有必有，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,但有未必一定有.
充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．
必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．
命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
（1）充分必要条件（充要条件），即 且；
（2）充分不必要条件，即且；
（3）必要不充分条件，即且；
（4）既不充分又不必要条件，即且．
三、例题
．
例1：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则为减函数；
（4）若为无理数，则为无理数.
（5）若，则.
例2：指出下列命题中，p是q的什么条件．
⑴p：，q：；
⑵p：两直线平行，q：内错角相等；
⑶p：，q：；
⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形

例3：判断下列命题的真假：
（1）“是6的倍数”是“是2的倍数”的充分条件；（2）“”是“”的必要条件.
小结：1。从不同角度理解充分条件、必要条件的意义
（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设为两个集合，集合是指
。这就是说，“”是“”的充分条件，“”是“ ”
的必要条件。对于真命题“若p则q”，即，若把p看做集合，把q看做集合，“”相当于“”。
（2）要注意转换命题判定，培养思维的灵活性
例：已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？
分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性
从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的
“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的
故p是q的充分不必要条件
注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．
练习：已知p：或；q：或，则是的什么条件？
方法一：
显然是的的充分不必要条件
方法二：要考虑是的什么条件，就是判断“若则”及“若则”的真假性
“若则”等价于“若q则p”真的
“若则”等价于“若p则q”假的
故是的的充分不必要条件
（3）要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性
例：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？
分析：命题的充分必要性具有传递性 显然M是Q的充分不必要条件
（4）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关闭合”为条件，“灯泡亮”
为结论，可用图1、图2来表示是的充分条件，是的必要条件。
B3
A
C
图2
C
A
B
图4
C
A
B
图1
图3
B3
A

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：
⑴若，则；
⑵若，则；
⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

1.2 充分条件和必要条件（2）
[教学目标]：
1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；
[教学重点、难点]：
理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
[教学过程]：
一、复习回顾
一般地，如果已知，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件
⑴“”是“”的 充分不必要 条件．
⑵若a、b都是实数，从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使a、b都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．

（3）指出下列各组命题中，是的什么条件，是的什么条件？
（1），；
（2），；
（3）内错角相等，两直线平行；
（4）两直线平行，内错角相等.

二、讲授新课：
1. 教学充要条件：
①一般地，如果既有，又有，就记作. 此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）.
②上述命题中（3）（4）命题都满足，也就是说是的充要条件，当然，也可以说是的充要条件.
2. 教学典型例题：
例1：下列命题中，哪些是的充要条件？
（1）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形；
（2），函数是偶函数；
（3），；
（4），.
变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.
例2. 已知p： |1－|≤2，q：:x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
变式训练2：已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.

例3. “函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？
充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么
例4：证明：对于x、yR，是的必要不充分条件．
分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件
必要性：对于x、yR，如果
则， 即
故是的必要条件
不充分性：对于x、yR，如果，如，，此时
故是的不充分条件
综上所述：对于x、yR，是的必要不充分条件．
归纳小结

1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．
3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．
4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．
5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．