自然数幂求和公式的存在与规律探讨.doc

本科毕业论文

自然数幂求和公式的存在与规律探讨
SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY

学院（部）： 理学院
专业班级： 08-2数学与应用数学
学生姓名： 张兴刚
指导教师： 范自强

2012年 6 月 1 日
自然数幂求和公式的存在与规律探讨

摘要
自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。

关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间

Sum formula of power of natural number 's existence and regularity

Abstract
Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective.

Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space
17

目录
一、自然数幂求和公式的存在性 1
1自然线性空间 1
2基本初等公式 1
3自然数幂求和公式的存在性证明 2
二、自然数幂求和公式的系数定理 3
1系数规律的研究与猜想 3
2系数定理的证明 5
2.1系数定理的归纳证明 5
2．2系数定理的几条重要推论 6
3系数定理的运用 7
3.1系数定理求和 7
3.2常见的自然数幂求和公式 8
三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 9
1自由线性空间 9
2自由向量的性质 9
3、自由向量的运用 11
3.1求和 11
3.2自然数幂求和公式 12
四、自然数幂求和公式的VB编码 13
参考文献： 17

一、自然数幂求和公式的存在性
1自然线性空间
定义：由一切形如（mN,i，）的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G.

2基本初等公式
首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：

则有：

化简得，
基本初等公式：

3自然数幂求和公式的存在性证明
猜想：，且为m+1次多项式。
下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。
证明：
1) 已知当k=0时， ,且为k+1次多项式.
2) 若km时，,且为k+1次多项式，由基本初等公式得：

则

显然
为m+1次多项式，为m+2次多项式，
则
,且为m+2次多项式.
3）、 由1），2）可知，，且为m+1次多项式.

存在性定理： ，且为m+1次多项式。
定义：由存在性定理，我们称m次自然数幂求和公式中，的系数为m级p次系数，记为。
则自然数幂求和表达式为：

二、自然数幂求和公式的系数定理
1系数规律的研究与猜想
由基本初等公式

自然数幂求和表达式

将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取的系数，可得
推论一：
推论二：

由 推论二 ，令p=m+1,
则 ，
化简得；

令p=m,
则，
化简得；

令p=m-1,
则，
化简得；

令p=m-2,则
化简得；

令p=m-3,则
，；

由以上结果可以看出

由以上结论，系数猜想.

2系数定理的证明
2.1系数定理的归纳证明
以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想

证明：
对于任意的，定义间距r=m+1-p,,
1) 当间距r=0时，p=m+1, ,满足.
2) 若当间距满足时，即，总有，
由推论，令r=k+1,即p=m-k，有
则

由推论二得:

代入得

化简得

即间距r=k+1时，仍然有.
3）、由1），2）综上分析，可知总有，.

故得出 自然数幂求和系数定理

2．2系数定理的几条重要推论
由系数定理得

即：推论三

对于推论二，令p=1得
推论四
由自然数幂求和表达式

令n=1，则得
推论五

推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。
3系数定理的运用
3.1系数定理求和
由知，=1
根据系数定理，推论五
，
则

则

则

则
3.2常见的自然数幂求和公式
下面是部分自然数幂求和公式
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究
1自由线性空间
定义:由形如的多项式构成的线性空间称为自由线性空间，其中的元素称为自由向量。
我们规定：当n<m时，。
2自由向量的性质
下面我们来研究下自由向量的各种性质：
性质一：

证明：

性质二：

证明：由自由向量的定义得

性质三：

证明：由性质二得
所以

3、自由向量的运用
3.1求和
下面我们利用自由向量求解自然数幂求和

3.2自然数幂求和公式
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
四、自然数幂求和公式的VB编码

代码如下：
Private Sub Command1_Click()

Dim m As Integer, k As Integer
Dim a, b, c, d As Double

m = Val(Text1.Text)

For k = m + 1 To 1 Step -1

a = f(m, k) / he(f(m, k), jc(m + 1))

b = jc(m + 1) / he(f(m, k), jc(m + 1))

Text3 = "+"

If k > m And a / b = 1 Then

Text2.Text = "n^" & k

ElseIf k > m And a / b <> 1 Then

Text2.Text = "1/" & m + 1 & "n^" & k

ElseIf a * b = 0 Then

Text2.Text = Text2.Text

ElseIf a * b < 0 Then

Text4 = -Abs(a) & "/" & Abs(b) & "n^"

Text2.Text = Text2.Text & Text4 & k

ElseIf b = 1 Then

Text2.Text = Text2.Text & Text3 & "n^" & k

Else
Text4 = a & "/" & b & "n^" & k

Text2.Text = Text2.Text & Text3 & Text4
End If

Next k

End Sub

Function jc(n As Integer) As Double
If n = 0 Then
jc = 1
Else
jc = n * jc(n - 1)

End If

End Function

Function zhs(m As Integer, n As Integer) As Double
zhs = jc(m) / (jc(n) * jc(m - n))

End Function

Function g(n As Integer) As Double
Dim k As Integer
Dim s As Double

If n = 0 Then
g = 1
Else

For k = o To n - 1 Step 1
s = s + jc(n) / jc(k + 1) * zhs(n + 1, k) * g(k)

Next k

g = jc(n + 1) - s

End If

End Function

Function f(m As Integer, n As Integer) As Double

f = jc(m) / jc(m - n + 2) * zhs(m + 1, n) * g(m - n + 1)
End Function

Function hef(m, n As Double) As Double
Dim r, t As Double
If m < n Then
t = a: a = b: b = t
End If

r = m Mod n

Do While r <> 0
m = n
n = r
r = m Mod n

Loop

hef = n

End Function

Function he(a, b As Double) As Double
If hef(a, b) = 0 Then
he = 1
Else

he = hef(a, b)

End If

End Function

Private Sub Command2_Click()
Text1.Text = ""

Text2.Text = ""

End Sub

参考文献：
[1]赵树原.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，1998
[2]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986
[3]白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000
[4]王正文.高等代数分析与研究. .济南：山东大学出版社，1994
[5]姚慕生.高等代数.上海：复旦大学出版社，2003
[6]张禾瑞、郝炳新.高等代数. 北京：高等教育出版社， 1999
[7]黄洛生.高等代数原理与方法. 福州:福建人民出版社， 1994
Boyer, CB "Pascal's Formula for the Sums of Powers of the Integers." Scripta Math. 9 , 237-244, 1943.