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1、 本科毕业论文 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY 学院（部）： 理学院 专业班级： 08-2数学与应用数学 学生姓名： 张兴刚 指导教师： 范自强 2012年 6 月 1 日 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 摘要 自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式
2、的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。 关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间 Sum formula of power of natural number 's existence and regularity Abstract
3、 Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rul
4、e; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural
5、number power sum problem brought a new perspective. Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space 17 目录 一、自然数幂求和公式的存在性 1 1自然线性空间 1 2基本初等公式 1 3自然数幂求和公式的存在性证明 2 二、自然数幂求和公式的系数定理 3 1系数规律的研究与猜想 3 2系数定理的证明 5 2.1系数定理的归纳证明 5 2
6、．2系数定理的几条重要推论 6 3系数定理的运用 7 3.1系数定理求和 7 3.2常见的自然数幂求和公式 8 三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 9 1自由线性空间 9 2自由向量的性质 9 3、自由向量的运用 11 3.1求和 11 3.2自然数幂求和公式 12 四、自然数幂求和公式的VB编码 13 参考文献： 17 一、自然数幂求和公式的存在性 1自然线性空间 定义：由一切形如（mN,i，）的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G. 2基本初等公式 首先我们由二项式定理以及复合求和的性质
7、得一下推论： 则有： 化简得， 基本初等公式： 3自然数幂求和公式的存在性证明 猜想：，且为m+1次多项式。 下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。 证明： 1) 已知当k=0时， ,且为k+1次多项式. 2) 若km时，,且为k+1次多项式，由基本初等公式得： 则 显然 为m+1次多项式，为m+2次多项式， 则 ,且为m+2次多项式. 3）、 由1），2）可知，，且为m+1次多项式. 存在性定理： ，且
8、为m+1次多项式。 定义：由存在性定理，我们称m次自然数幂求和公式中，的系数为m级p次系数，记为。 则自然数幂求和表达式为： 二、自然数幂求和公式的系数定理 1系数规律的研究与猜想 由基本初等公式 自然数幂求和表达式 将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取的系数，可得 推论一： 推论二： 由 推论二 ，令p=m+1, 则 ， 化简得； 令p=m, 则， 化简得； 令p=m-1, 则， 化简得； 令p=m-2,则 化简得； 令p=m-3,则 ，； 由以上结果可
9、以看出 由以上结论，系数猜想. 2系数定理的证明 2.1系数定理的归纳证明 以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想 证明： 对于任意的，定义间距r=m+1-p,, 1) 当间距r=0时，p=m+1, ,满足. 2) 若当间距满足时，即，总有， 由推论，令r=k+1,即p=m-k，有 则 由推论二得: 代入得 化简得 即间距r=k+1时，仍然有. 3）、由1），2）综上分析，可知总有，. 故得出 自然数幂求和系数定理 2．2系数定理
10、的几条重要推论 由系数定理得 即：推论三 对于推论二，令p=1得 推论四 由自然数幂求和表达式 令n=1，则得 推论五 推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。 3系数定理的运用 3.1系数定理求和 由知，=1 根据系数定理，推论五 ， 则 则 则 则 3.2常见的自然数幂求和公式 下面是部分自然数幂求和公式 = = = = = = = = = = 三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 1自由线性空间 定义:由形如的多项式构成的线性空间称为自由线性空间，其中的元素称为
11、自由向量。
我们规定：当n 12、)
Dim m As Integer, k As Integer
Dim a, b, c, d As Double
m = Val(Text1.Text)
For k = m + 1 To 1 Step -1
a = f(m, k) / he(f(m, k), jc(m + 1))
b = jc(m + 1) / he(f(m, k), jc(m + 1))
Text3 = "+"
If k > m And a / b = 1 Then
Text2.Text = "n^" & k
ElseIf k > m And a / b <> 1 13、 Then
Text2.Text = "1/" & m + 1 & "n^" & k
ElseIf a * b = 0 Then
Text2.Text = Text2.Text
ElseIf a * b < 0 Then
Text4 = -Abs(a) & "/" & Abs(b) & "n^"
Text2.Text = Text2.Text & Text4 & k
ElseIf b = 1 Then
Text2.Text = Text2.Text & Text3 & "n^" & k
Else 14、
Text4 = a & "/" & b & "n^" & k
Text2.Text = Text2.Text & Text3 & Text4
End If
Next k
End Sub
Function jc(n As Integer) As Double
If n = 0 Then
jc = 1
Else
jc = n * jc(n - 1)
End If
End Function
Function zhs(m As Integer, n As Intege 15、r) As Double
zhs = jc(m) / (jc(n) * jc(m - n))
End Function
Function g(n As Integer) As Double
Dim k As Integer
Dim s As Double
If n = 0 Then
g = 1
Else
For k = o To n - 1 Step 1
s = s + jc(n) / jc(k + 1) * zhs(n + 1, k) * g(k)
Next k
g = jc(n + 1) - s
End If
16、
End Function
Function f(m As Integer, n As Integer) As Double
f = jc(m) / jc(m - n + 2) * zhs(m + 1, n) * g(m - n + 1)
End Function
Function hef(m, n As Double) As Double
Dim r, t As Double
If m < n Then
t = a: a = b: b = t
End If
r = m Mod n 17、
Do While r <> 0
m = n
n = r
r = m Mod n
Loop
hef = n
End Function
Function he(a, b As Double) As Double
If hef(a, b) = 0 Then
he = 1
Else
he = hef(a, b)
End If
End Function
Private Sub Command2_Click()
Text1.Text 18、 = ""
Text2.Text = ""
End Sub
参考文献：
[1]赵树原.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，1998
[2]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986
[3]白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000
[4]王正文.高等代数分析与研究. .济南：山东大学出版社，1994
[5]姚慕生.高等代数.上海：复旦大学出版社，2003
[6]张禾瑞、郝炳新.高等代数. 北京：高等教育出版社， 1999
[7]黄洛生.高等代数原理与方法. 福州:福建人民出版社， 1994
Boyer, CB "Pascal's Formula for the Sums of Powers of the Integers." Scripta Math. 9 , 237-244, 1943.
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