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卷28
一、填空题
1、复数的虚部为 .
2、一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500范围内的人数为
3、根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为
图2 图3
4、若等差数列的前5项和，且，则 .
5、设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）
①若则；
②若则；
③若则；
④若则．
6、在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为__________．
7、已知偶函数在上为减函数， 且，则不等式的解集为__________．
8、已知点O为的外心，且,则__________．
9、如图，已知是椭圆 的
左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆
相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .
10、先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是 ．
11、记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为__________．（写出所有零点）
12、在中，若，则面积的最大值为 ．
13、设为正整数，两直线的交点是，对于
正整数，过点的直线与直线的交点记为.则数列通
项公式＝ .
14、如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，则小正方形的边长为
二、解答题
15、（本小题共14分）
已知动点在角的终边上.
（1）若，求实数的值；
（2）记，试用将S表示出来.
16、（本小题共14分）
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.
（1）求证：BG面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG面DEF.
17、（本小题共14分）
为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小.
18、（本小题共16分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N．求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
19、（本小题共16分）
已知数列，满足，，数列的前项和为，.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求通项； （Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：当时，．
20、（本小题共16分）
已知.
（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）当，时，求证：.
附加题
21、A. 选修4——1：几何证明选讲
如图，D为△ABC的BC边上的一点，⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1、⊙O2交于点G.求证：
(1) ∠BAC＋∠EGF＝180°；
(2) ∠EAG＝∠EFG.
21、B．选修4－2 矩阵与变换
已知矩阵M＝的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
21、C．选修4－4 坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
21、D. 选修4——5：不等式选讲
已知x、y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3.
22、【必做题】
已知抛物线的焦点为，直线过点.
（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；
（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.
23、【必做题】
已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行
该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子
发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所
共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值
（1）求随机变量的数学期望E；
（2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。
参考答案：
1、-1 2、700 3、21 4、13 5、②④ 6、 7、 8、6 9、
10、 11、 12、 13、 14、
15、解：（1）是角的终边上一点，
则--------------------------3分
又，则，所以. ---------------- 6分
（2）==-----9分
-------------------12分
----------------------------14分
16、（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且，
所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BGAD；---------4分
因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，
所以BG面PAD. ----------------7分
（2）当点F为PC的中点时，PG面DEF
连结GC交DE于点H
因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形
所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点
所以FH时三角形PGC的中位线，所以PGFH ------------------------------10分
因为面DEF，面DEF
所以PG面DEF.
综上：当点F为PC的中点时，PG面DEF. ---------------------------14分
17、解：设矩形栏目的高为，宽为，则，
广告的高为，宽为(其中)
广告的面积
当且仅当，即时，取等号,此时.
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小.
18、解：（1）又由点M在准线上，得
故， ……………2分
从而
所以椭圆方程为……………4分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………6分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离
所以，……………8分
解得
所求圆的方程为 ……………10分
（3）方法一：由平几知：……………11分
直线OM：，直线FN：
由得……………13分
……………15分
所以线段ON的长为定值．……………16分
方法二、设，则 ……………11分
……………13分
又………15分
所以，为定值……………16分
19、解：（Ⅰ）由，得，代入，
得，
∴，从而有，
∵，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即.……………5分
（Ⅱ）∵，∴，
，
，
∴. ……………………………………………………………………10分
（Ⅲ）∵，
∴
.
由（2）知，∵，
∴
. ……16分
20、解：（1），
当时，；当时，；
函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 -------------------------3分
当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.
，解得. ---------------------------5分
（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. ----------10分
（另解：，，
令，所以，当时，
当时，；当时，
当时，函数取得极大值为
当方程有实数解时，.）
（3）函数在区间为减函数，而，
，即
--------------12分
即，而，
结论成立. ----------------------16分
附加题答案：
21.、A. 证明：(1)连结GD，由B、D、E、G四点共圆，可得∠EGA＝∠B，同理∠FGA＝∠C，故∠BAC＋∠EGF＝∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(5分)
(2) 由题知E、G、F、A四点共圆，故∠EAG＝∠EFG.(10分)
21、B解：矩阵M的特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.(1分)
因为λ1＝3方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1.(3分)
由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，(5分)
设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，
则得x＝－y，(8分)
令x＝1，则y＝－1，
所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.(10分)
21、C．解：曲线直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线 4分
设，，将这两个方程联立，消去，
得，． --------------6分
-------8分
∴，． -----------------------10分
21、D. 证明： 因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
所以2x＋－2y＝2(x－y)＋(4分)
＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.(10分)
22、解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，
由已知，抛物线的焦点坐标为， ………………1分
因为点到直线的距离为，所以， ……………2分
解得，所以直线的斜率为 . ……………4分
（2）设线段中点的坐标为，，
因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为， …………5分
联立方程
消去得， ………7分
所以， ……………8分
因为为中点，所以，即， ………9分
所以.即线段中点的横坐标为定值. …………10分
23、（1）由题意知Ｌ的可能取值为0，2，4……………1分
指的是实验成功2次，失败2次.
……………2分
指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.
……………3分
指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.
……………4分
……………5分
（2）由题意知：“不等式的解集是实数R”为事件A.
当时，不等式化为1>0，其解集是R，说明事件A发生；……………6分
当时，不等式化为
，所以解集是R，说明事件A发生；……………7分
当时，不等式化为其解集，
说明事件A不发生. ……………8分
∴……………9分
答：故随机变量的数学期望为.……………10分
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