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房山区高三年级第一学期期末练习数学（文科）
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2. 设，（为虚数单位），则的值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知数列，那么“”是“数列为等差数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设，则
A. B. C. D.
5. 已知平面向量夹角为，且，，则等于
A. B.
C. D.
6. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是
A. B.
C. D.
7. 设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使得当时，
的值域是，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数
① ②
③ ④
否
开始
结束
>50
输出 出n
是
其中所有“函数”的序号是
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 已知函数 则的值为 .
10. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 .
11.在中，角所对的边分别为，则 ，的面积等于 .
12. 以点为圆心，以为半径的圆的方程为 ，若直线 与圆有公共点，那么的取值范围是 .
13. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时， 的值为 .
14. 已知，给出以下两个命题：
命题：函数在上单调递减；
命题：，不等式恒成立.
若是假命题，是真命题，则的取值范围为 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明
过程.
15.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的值.
16. （本小题满分14分）在长方体中，， 为棱上一点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
17. （本小题满分13分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
50
70
60
80
100
40
0
分数
频率/组距
0.015
0.005
0.045
0.020
90
（Ⅰ）求成绩在的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在的概率.
18. (本小题满分13分)已知函数 .
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
19.（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，线段（为坐标原点）的中点分别为，上顶点为，且为等腰直角三角形.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过点作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.
20.（本小题满分13分）已知函数同时满足：①函数有且只有一个零点；②在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前项和（）.
(Ⅰ) 求函数的表达式；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 在各项均不为零的数列中，所有满足的整数的个数称为数列的变号数. 令，求数列的变号数.
房山区高三年级第一学期期末练习参考答案
数 学 （文科） 2013.01
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11.
12.
13. 14.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由 ………………1分
得 ………………3分
所以函数的定义域为 ……………4分
（Ⅱ）
= ……………8分
= ……………10分
所以 ……………13分
16. （本小题满分14）
（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴平面，………………1分
又平面
∴ ………………2分
在长方形中，
∴ ……………3分
又 ………………4分
∴平面，………………5分
而平面 ………………6分
∴ ………………7分
（Ⅱ）存在一点，使得∥平面，此时. ………………8分
当时，为中点
设交于点,则为中点
连接,在三角形中, ∥ ………………10分
平面,平面 ………………13分
∴∥平面 ………………14分
17. （本小题满分13）
（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为
， …………………3分
所以，40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.
…………………5分
（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，
记这四个人分别为，
成绩在区间内的学生有2人， …………………7分
记这两个人分别为，
则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为15， …………………9分
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：
，
基本事件数为9， …………………11分
所以. …………………13分
18. （本小题满分13）
………………………1分
（Ⅰ）因在处有极值，所以有 即
…………………………3分
解得 ……………………5分
经检验，符合题意
所以，当在处有极值时，，.
(Ⅱ)因，所以
令,得, …………… …………7分
① 当时,
在,有；在有
所以的增区间为,,减区间为. …………10分
② 当时,
在,有；在有
所以得增区间为,减区间为,. …………13分
综上所述, 当时, 得增区间为,,减区间为;
当时, 得增区间为,减区间为,.
19. （本小题满分14）
（Ⅰ）由焦点坐标可得
又 为的中点，为上顶点，为等腰直角三角形
所以 ……………………2分
所以 ……………………4分
所以椭圆标准方程为 …………………5分
(Ⅱ)解法一：当直线与轴垂直时，易知不垂直； ………6分
当直线与轴不垂直时，设直线方程为， ………7分
代入椭圆方程整理得恒成立）………8分
设，则
………9分
=
= ………11分
由，得
即，解得 ………13分
所以满足条件的直线有两条，其方程为 ………14分
解法二：由题意可知，直线的斜率不为0， ………………6分
设直线的方程为 …………………7分
代入椭圆方程整理得恒成立） ………8分
设
则 …………………9分
=
=
=
= …………………12分
由，得
即，解得
所以满足条件的直线有两条，其方程为 ………14分
20. （本小题满分13）
（Ⅰ）有且只有一个零点，
解得 ………………1分
当时，函数上递减
故存在，使得不等式成立 ………………2分
当时，函数上递增
故不存在，使得不等式成立 ………………3分
综上，得， …………………………4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知
当时， ………………5分
当时，
………………………………7分
…………………………8分
(Ⅲ)由题设得 ， ………………9分
递增， ………………………………10分
即时，有且只有1个变号数；
又
∴此处变号数有2个； ………………………………………………12分
综上得数列的变号数为3. ………………13分
11
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