可降阶的高阶微分方程的课程思政.pdf

第39卷第4期2023年8月山西大同大学学报（自然科学版）Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.4Aug.2023可降阶的高阶微分方程的课程思政刘文斌1，崔学英2(1.晋中信息学院 数理教学部，山西 太谷 030800；2.太原科技大学 应用科学学院，山西 太原 030024)摘要：为了研究高等数学中的课程思政，以高等数学课程中“可降阶的高阶微分方程”一节内容为例，探索如何将思政元素无声地融入到课堂中，根据现在社会下学生的学习状态和知识吸收度进行课程设计。通过与传统教学模式相比，将课程思政融入到教学中，有益于集中学生注意力、增强学生的民族自豪感，帮助学生树立正确的人生观价值观，更好地贯彻教书育人、立德树人的教学理念。关键词：高等数学；课程思政；可降阶的高阶微分方程中图分类号：O172文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1674-0874.2023.04.0062018年9月10日，习近平总书记在全国教育大会上强调“党的十八大以来，我们围绕培养什么人、怎样培养人、为谁培养人这一根本问题，全面加强党对教育工作的领导”。其中，“培养什么人”是教育的首要问题1-3。思政元素的融入让课堂变得更和谐、有意义，在传授知识的同时引导学生树立科学的世界观、人生观与价值观。课程思政的融入4-6，不仅是传授知识的过程，教师同样能够可以在教学点滴中提升自我，与学生更深入地交流，发现学生的闪光点，挖掘优秀人才，为国家培养人才，亦可以培养更深刻的师生情，帮助学生更快更好地成长。将以高等数学课程中的“可降阶的高阶微分方程”这一小节知识为实例，探索思政元素在实际课堂教学中的体现。具体的教学进程安排如下：1 引入案例一：一只新组装好的小钟放在了两只旧钟当中。两只旧钟滴答、滴答一分一秒地走着。其中一只旧钟对小钟说：来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完3 200万次以后，恐怕就吃不消了。天哪！3 200万次。小钟吃惊不已。要我做这么大的事？办不到，办不到。另一只旧钟说：别听他胡说八道。不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。天下哪有这样简单的事情。小钟将信将疑。如果这样，我就试试吧。小钟很轻松地每秒钟滴答摆下，不知不觉中，一年过去了，它摆了3 200万次。案例体现了“化繁为简”的思想。很多问题表面看似很难，其实只要把它分解开来，将变得简单而直观。案例二：西晋史学家陈寿所著 三国志 中的“曹冲称象”：冲少聪察，生五六岁，智意所及，有若成人之智。时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”太祖大悦，即施行焉。曹冲所用的方法是“等量替换法”，体现了“化整为零”的思想。人生道路亦不可能一帆风顺，总会遇见或大或小的困难，当遇见难以攻克的困难时，应将困难进行分解逐个攻克。同理，在求高阶微分方程的解时，在求高阶微分方程的解时，也需要用“化整为零”“化繁为简”的思想。一阶微分方程的求解已熟悉掌握，在求高阶微分方程的解时，需要化为多个一阶微分方程的组合，分步求解。2 可降阶的高阶微分方程7二阶及二阶以上的微分方程即为高阶微分方程。2.1y(n)=f(x)型的微分方程特点：微分方程右端是只含有变量x的函数.解法：逐次积分求n-1、n-2、n-3、2、1，连续n收稿日期：2023-03-01基金项目：安徽省高等学校自然科学研究项目KJ2020A0024；淮北师范大学实验室开放项目2022sykf016作者简介：刘文斌（1994-），山西吕梁人，硕士，助教，研究方向：教学研究、最优化理论及其应用。E-mail：文章编号：1674-0874（2023）04-0029-03山西大同大学学报(自然科学版)2023年次积分即可求得方程的通解。例1 求方程ym=e2x-cosx的通解。解：对所给方程接连积分三次得：y=12e2x-sinx+C1,y=14e2x+cosx+C1x+C2，y=18e2x+sinx+C12x2+C2x+C3，这就是所求通解。例 2 质量为 m的质点受水平力 F的作用沿力 F的方向作直线运动，力 F 的大小为时间 t 的函数 F(t)=sin t。设开始时(t=0)质点位于原点，且初始速度为零，求这质点的运动规律。解：设s=s(t)表示在时刻t时质点的位置，由牛顿第二定律，质点的运动方程为：md2sdt2=sint，初始条件|st=0=0,|dsdtt=0=0，将方程两端积分，得dsdt=-1mcost+C1，将|dsdtt=0=0代入得C1=1m，于是有dsdt=-1mcost+1m，再次两边积分，得s=-1msint+1mt+C，将|st=0=0代入得 C=0.故所求质点运动规律为：s=1m(t-sint)。练习1 求方程ym=sinx+cosx的通解。2.2y=f(x,y)型的微分方程特点：不显含未知函数y。求解：做变换y=p，则y=p，故原方程可化为关于变量x，p的一阶微分方程：dpdx=f(x,p)。设其通解为p=(x,C1)，则有p=y=dydx=(x,C1)。积分得原方程的通解为：y=(x,C1)dx+C2。例3 求微分方程(1+x2)y=2xy满足初值条件y|x=0=1，y|x=0=3的特解。解：所给方程是y=f(x,y)型的。设y=p，代入方程并分离变量，得dpp=2x1+x2dx，两 边 积 分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即y=p=C1(1+x2)，其中C1=eC，将初值条件 y|x=0=3 代入得C1=3，故y=3(1+x2)，再积分得y=x3+3x+C2，再将初值条件y|x=0=1代入得C2=1，因此所求特解为y=x3+3x+1。例4 求方程d4ydx4-1xd3ydx3=0的通解。解：令p=d3ydx3，则原方程化为dpdx=1xp，分离变量再积分，得 p=C1x，即 y=C1x，再积分，得y=C12x2+C2；再积分，得y=C16x3+C2x+C3，再积分，得y=C124x4+C22x2+C3x+C4，即为所求通解。其中C1为非零常数，其中C2、C3、C4为任意常数。练习2 求方程xy+y=0的通解。2.3y=f(y,y)型的微分方程特点：不显含自变量x。求解：令y=p，把p当做新的未知函数，把y当做自变量，此时故原方程可化为：y=dpdx=dpdydydx=pdpdy。代入方程y=f(y,y)，有pdpdy=f(y,p)。设其通解为p=dydx=(y,C1)，分离变量后再积分得原方程的通解为：1(y,C1)dy=x+C2。例5 求微分方程yy-y2=0的通解。解：所给方程是 y=f(y,y)型的。设 y=p，则y=pdpdy，代入方程得ypdpdy-p2=0。在y 0,p 0时，约去p并分离变量，得dyy=dpp。两边积分，得ln|p|=ln|y|+C，即y=p=C1y，其中C1=eC，再分离变量两边积分得通解为：ln|y|=C1x+C2，或y=C3eC1x，其中C3=eC2。例6 解方程yy-(y)2+(y)3=0。解：此方程不显含自变量x，令y=p，代入原方程得ypdpdy-p2+p3=p()ydpdy-p+p2=0，从而 p=0或ydpdy-p+p2=0。前者对应的解为y=C，后者对应方程dpp(1-p)=302023年ydy，两 边 积 分 得p1-p=C1y(C1 0)，即dydx=p=C1y1+C1y。再分离变量后积分，得y+1C1ln|y|=x+C2，因此，原方程的解为：y+1C1ln|y|=x+C2及y=C。练习3 求方程yy=(y)21+(y)2的通解。3 结语介 绍 了y(n)=f(x)型、y=f(x,y)型、y=f(y,y)型，三种类型的高阶微分方程的特点及其解法“降阶法”。体现了化繁为简、化整为零的思想。通过例题讲解和练习巩固，培养学生的分析问题、解决问题的能力。以高等数学微分方程中的“可降阶的高阶微分方程”内容作为实例，通过两个案例分析，引出遇见困难时也应有“化繁为简”“化整为零”的思想去攻坚克难融入课程思政，引入课程新内容的解法。这种方法契合高等数学的教学大纲，符合课程的教学要求，遵循学生学习的特点和认知规律，通过案例分析、提出问题、问题分析吸引学生注意力，将思政元素不突兀地融入到课堂教学中去，贯彻教书育人、立德树人的教学理念。参考文献1 朱艳.高等数学课程思政的教学设计探究以“傅里叶级数”为例 J.科教导刊-电子版（下旬），2022（2）:238-240.2 宋斐斐，苏恒迪，段瑞娟.以曲率为例的 高等数学 课程思政案例分析 J.科教导刊-电子版（下旬），2022（8）:196-198.3 张晓磊，张乐，张钰伊，等.物理学史和物理学方法论课程思政教学探索 J.大学物理，2021，40（4）:40-44.4 敖占一，尹建华.思政元素融入数列极限定义的教学设计探究 J.成才之路，2022，717（17）:116-118.5 朱永婷，吴奇明.“高等数学”课程思政元素分类与实施路径 J.高等教育研究学报，2022，45（4）:88-93.6 刘丽芳.“高等数学”课程思政教学改革研究 J.中国人民警察大学学报，2023，39（2）:88-92.7 同济大学数学系.高等数学 M.7版.北京:高等教育出版社，2014.Curriculum Thought and Politics of Reducible Higher Order Differential EquationLIU Wen-bin1,CUI Xue-ying2(1.Department of Mathematics and Physics,Jinzhong College of Information,Taigu Shanxi,030800;2.School of Applied Science,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan Shanxi,030024)Abstract:In order to study curriculum thought and politics in higher mathematics,the article takes the reducible higher or-der differential equations section of the advanced mathematics curriculum as an example to explore how to silently integrate ideo-logical and political elements into the classroom,and design the curriculum based on the learning status and knowledge absorptionof students in the current society.Compared to traditional teaching models,integrating curriculum thought and politics into teach-ing is beneficial for concentrating students attention,enhancing students sense of national pride,helping students establish correctoutlook on life and values,better implementing the teaching philosophy of teaching and cultivating people,and establishing moral-ity and cultivating people.Key words:advanced mathematics;curriculum thought and politics;reducible higher order differential equation责任编辑 高彩云刘文斌等：可降阶的高阶微分方程的课程思政31