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初高中数学衔接教材

专题一 数与式的运算
1.1 绝对值
1.2 乘法公式
1.3 二次根式
1.４ 分式
专题二 分解因式

专题三 一元二次方程
专题四 函数
4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
4.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
4.3. 二次函数的三种表示方式
4.4 二次函数的简单应用

专题五 方程与不等式
5.1 二元二次方程组解法
5.2 一元二次不等式解法

专题六 相似形
6.1．平行线分线段成比例定理
6.2相似形

专题七 三角形的“四心”

专题八 圆
8.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
8.2 点的轨迹
专题一 数与式的运算
1.1绝对值
【要点回顾】
1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即 ．
[2]绝对值的几何意义： 的距离．
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示 的距离．
[4]两个绝对值不等式:；．．
【例题选讲】
例1 解下列不等式：（1） （2）＞4

练 习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.

2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

4、解答题：已知，求 的值.

1.2. 乘法公式
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[公式1]
[公式2](立方和公式)
[公式3] (立方差公式)
【例题选讲】
例1 计算：
（1） （2）

（3） （4）

例2 已知，，求的值．

练 习1．填空：（1）（ ）；
（2） ；
（3） ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.3．二次根式
[1]式子叫做二次根式，其性质如下：
(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．
[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．
[3]立方根的概念： 叫做的立方根，记为
例1.将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3） (4)
例2 计算：
（1） （2）

（3） （4）

例3　化简：（1）； （2）

练习1．填空：
（1）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
3、若，求的值
4、解答：设，求代数式的值
1.４．分式
[1]分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当时，分式具有下列性质： （1） ； （2） ．
[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，
[3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
例1　若，求常数的值．
例2　（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

练 习
1．填空题：对任意的正整数n， ()；
2．选择题：若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．

4．计算．

专题检测（一）
1．解不等式：
(1) ； (2) ；

(3) ．

2．填空：（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．
（4），，则____ ____；
（5）若，则__ __；
3．选择题：
（1）若，则　　 （　 　）
（A） （B）　 （C）　 （D）
（2）计算等于　　　　　　　　　　　　　 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
4．求值（1）已知，求的值．

（2）已知：，求的值．

5．解方程．

6．计算：．

7．试证：对任意的正整数n，有＜．

专题二 因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
[4]
[5](立方和公式)
[6] (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
3．十字相乘法
（1）型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵，
∴
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式型的因式分解
由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法
【例题选讲】
例 分解因式：
(1) (2) （3）；

（4）． （5） （6）

(7) (8) (9)

(10) (11) (12)

练习
1．分解因式：
（1） ； （2）；

（3）； 　 （4）．

（5） ； （6）；

（7）； （8）．

3．三边，，满足，试判定的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

专题三 一元二次方程
【要点回顾】
1．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为： ．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ；
[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ；
[3]当Δ 0时，方程没有实数根．
2．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【例题选讲】
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；

（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．

例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；

（2）求的值；

（3）x13＋x23．

一般规律：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

练 习
1．选择题：
（1）方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

专题检测
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
（4）若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

（5）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（6）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

．
5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

6．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；

（2）x13＋x23．

B 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 （ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ．

3．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

4． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，，试求的值．

5．已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

6.若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．

专题四 函数
4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
【要点回顾】
1．平面直角坐标系
[1] 组成平面直角坐标系。 叫做轴或横轴， 叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
[2] 平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程
对称点的坐标
轴

轴

原点

点

直线

直线

直线

直线

2．函数图象
[1]一次函数： 称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k≠0)
特别的，当=0时，称是的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是 的一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ．
[3] 一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k≠0)，则当 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的增大而 ．
[4]反比例函数的图象与性质：函数(k≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【例题选讲】
例1 已知、，根据下列条件，求出、点坐标．
(1) 、关于x轴对称；(2) 、关于y轴对称；(3) 、关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【巩固练习】1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．　

3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值；
（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

4．2 二次函数
【要点回顾】
问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

通过研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

通过研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
函数y＝a＋bx＋c图象作图要领：
①确定开口方向：由二次项系数a决定.
②确定对称轴：对称轴方程为
③确定图象与x轴的交点情况，若△>0则与x轴有两个交点，可由方程
＋ bx＋c=0求出;若△=0则与x轴有一个交点，可由方程
x2＋bx＋c=0 求出;若△<0则与x轴有无交点.
④确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）
⑤由以上各要素出草图.
练习：作出以下二次函数的草图：
（1） (2) (3)

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x /元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x2－2x－3；

（2）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

4.3 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax2＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以
x1＋x2＝，x1x2＝，
即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2．
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()
= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]
＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点
（3，－1），求二次函数的解析式.

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式.

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式.

练习
1．选择题:
（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为
y＝a (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．

4.4 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位.

2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
x
y
O
y＝1
A(1,－1)
B(1，3)
图2.2－8
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.

例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象
对应函数解析式：
（1）直线x＝－1； （2）直线y＝1.

练习
（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（ ）
（A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1
（C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1
（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
专题五 方程与不等式
5.1 二元二次方程组解法
一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,
我们看下面的两个方程组：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
①②
例1 解方程组

①
②

例2 解方程组

练 习
1．下列各组中的值是不是方程组

的解?　
（1） （2） （3） （4）　
2．解下列方程组:
（1）　　　 （2）　

（3）　 （4）

5.2不 等 式
【要点回顾】
1．[1]定义：形如 为关于的一元一次不等式．
一元一次不等式最终可以化为的形式．
[1]当时，不等式的解为：；
[2]当时，不等式的解为：；
[3]当时，不等式化为：；
① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解．
2．一元二次不等式及其解法
[1]定义：形如 为关于的一元二次不等式．
[2]一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 化为；并求方程的根
(2) 画相应的二次函